Maximaler Radius eines Kreises
Optimierungsproblem mit Lösung
Verwenden Sie die Ableitung, um die Größe eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, sodass der Radius des einbeschriebenen Kreises maximal ist; für eine konstante Hypotenuse.
Problem
ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck und \(r\) ist der Radius des einbeschriebenen Kreises.
a) Drücken Sie \(r\) durch den Winkel \(x\) und die Länge der Hypotenuse \(h\) aus.
b) Nehmen Sie an, dass \(h\) konstant ist und \(x\) variiert; finden Sie \(x\), für das \(r\) maximal ist.
Lösung des Problems:
a) Seien M, N und P die Berührungspunkte des Kreises mit den Seiten des Dreiecks. \(OM\), \(ON\) und \(OP\) stehen senkrecht auf \(CB\), \(CA\) bzw. \(AB\).
Die Dreiecke COM und CON sind rechtwinklig und haben zwei kongruente Seiten: \(CO\) und \(OM\) und \(ON\); die beiden Dreiecke sind daher kongruent. Wir bezeichnen die Größe des Winkels \(MCN\) mit \(x\) und schreiben
\[
\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM}
\]
Die Dreiecke BOM und BOP sind rechtwinklig und haben zwei kongruente Seiten: \(BO\) und \(OM\) und \(OP\); die beiden Dreiecke sind daher kongruent. Wir bezeichnen die Größe des Winkels \(MBP\) mit \(y\) und schreiben
\[
\tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM}
\]
Beachten Sie, dass
\(y + x = 90\) was ergibt \(y / 2 = 45 - x / 2\)
Ersetzen Sie \(y / 2\) durch \(45 - x / 2\) in der Gleichung \(\tan\left(\dfrac{y}{2}\right) = \dfrac{r}{BM}\), um zu erhalten
\[
\tan\left(45 - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM}
\]
Wir lösen nun die Gleichung \(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{r}{CM}\) nach \(CM\) und die Gleichung \(\tan\left(45 - \dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{r}{BM}\) nach \(BM\) auf, um zu erhalten
\(CM = \dfrac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}\) und \(BM = \dfrac{r}{\tan\left(45 - \dfrac{x}{2}\right)}\)
Wir verwenden nun die Tatsache, dass \(h = CM + BM\) ist, um die Gleichung aufzustellen
\(h = \dfrac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \dfrac{r}{\tan\left(45 - \dfrac{x}{2}\right)}\)
\[ = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45 - \frac{x}{2}\right)} \right] \]
Wir verwenden nun trigonometrische Identitäten, um die obige Gleichung zu vereinfachen. Die erste Identität, die wir verwenden werden, ist
\[
\tan\left(45 - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45)\tan\left(\frac{x}{2}\right)}
\]
\[ = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]
Die Formel für \(h\) ist nun gegeben durch
\[
h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right]
\]
Wir verwenden nun die Identität \(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}\) und andere Identitäten, um \(h\) wie folgt umzuschreiben
\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]
\[ = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) (\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right))} \right] \]
Wir lösen nun die obige Gleichung nach \(r\) auf, um zu erhalten
\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) (\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)) = h (\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)) \]
Wir verwenden nun die Identitäten \(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \sin (x)\) und \(\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(x)\), um \(r\) wie folgt zu schreiben
\[ r = \frac{h}{2} (\sin(x) + \cos(x) - 1) \]
b) Nachdem wir nun \(r\) als Funktion von \(x\) berechnet haben und \(h\) als konstant angenommen wird, lassen Sie uns die erste Ableitung von \(r\) nach \(x\) finden
\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos(x) - \sin(x)) \]
Lassen Sie uns einen kritischen Punkt für \(r\) finden, indem wir die Gleichung \(\dfrac{dr}{dx} = 0\) lösen.
\[ \frac{h}{2} (\cos(x) - \sin(x)) = 0 \]
ergibt
\[ \cos(x) - \sin(x) = 0 \] da \(h\) konstant und nicht gleich 0 ist.
\[ \cos(x) = \sin(x) \]
Quadrieren Sie beide Seiten
\[ \cos^2(x) = \sin^2(x) \]
\[ \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]
Lösen Sie nach \(\cos(x)\) auf, um zu erhalten
\[ \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ oder } - \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\(x\) ist ein spitzer Winkel und daher ist die Lösung unserer Gleichung gegeben durch
\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
Der Graph von \(\dfrac{dr}{dx}\) ist unten dargestellt und \(\dfrac{dr}{dx}\) ist positiv für \(x \lt \dfrac{\pi}{4}\) und negativ für \(x > \dfrac{\pi}{4}\), daher hat \(r\) ein Maximum bei \(x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ\).
\(x = 45^\circ\) ist der Wert des Winkels \(ACB\), für den der Radius \(r\) für einen gegebenen Wert \(h\) der Länge der Hypotenuse maximal ist. Beachten Sie, dass in diesem Fall das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Weitere Referenzen und Links
Analysis-Aufgaben