Verwenden Sie die Ableitung, um die Größe eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks so zu bestimmen, dass der Radius des Inkreises bei konstanter Hypotenuse maximal wird.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck und \( r \) ist der Radius des Inkreises.
a) Drücken Sie \( r \) in Abhängigkeit von dem Winkel \( x \) und der Länge der Hypotenuse \( h \) aus.
b) Nehmen Sie an, dass \( h \) konstant ist und \( x \) variiert; bestimmen Sie den Wert von \( x \), für den \( r \) maximal ist.
Lösung der Aufgabe anzeigen
a) Seien M, N und P die Berührungspunkte des Kreises mit den Seiten des Dreiecks. \( OM \), \( ON \) und \( OP \) stehen senkrecht auf \( CB \), \( CA \) bzw. \( AB \).
Die Dreiecke COM und CON sind rechtwinklige Dreiecke und besitzen zwei kongruente Seiten (\( CO \) und die Radien \( OM = ON = r \)); folglich sind die beiden Dreiecke kongruent. Wir bezeichnen die Größe des Winkels \( MCN \) mit \( x \) und schreiben:
\[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM} \]Die Dreiecke BOM und BOP sind rechtwinklige Dreiecke und besitzen zwei kongruente Seiten (\( BO \) und die Radien \( OM = OP = r \)); folglich sind die beiden Dreiecke kongruent. Wir bezeichnen die Größe des Winkels \( MBP \) mit \( y \) und schreiben:
\[ \tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]Beachten Sie, dass \( y + x = 90^\circ \) gilt, was \( \dfrac{y}{2} = 45^\circ - \dfrac{x}{2} \) liefert.
Setzen Sie \( \dfrac{y}{2} \) in die Gleichung für \( BM \) ein:
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]Nach \( CM \) und \( BM \) aufgelöst:
\[ CM = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}, \quad BM = \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} \]Unter Verwendung der Tatsache, dass \( h = CM + BM \) ist:
\[ h = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} \right] \]Unter Verwendung der trigonometrischen Identität für die Tangensdifferenz:
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45^\circ)\tan\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]Setzen Sie dies in die Formel für \( h \) ein:
\[ h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]Warten Sie, betrachten wir den Kehrwertterm:
\[ \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]Mit \( \tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \) vereinfachen wir zu:
\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)} \right] \]Nach \( r \) aufgelöst:
\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right) = h \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) \]Unter Verwendung von Doppelwinkel- und Produktidentitäten (\( \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sin x \) und \( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos x}{2} \)):
\[ r = \frac{h}{2} (\sin x + \cos x - 1) \]b) Nehmen Sie an, dass \( h \) konstant ist. Bestimmen Sie die erste Ableitung von \( r \) nach \( x \):
\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) \]Setzen Sie \( \dfrac{dr}{dx} = 0 \), um kritische Punkte zu finden:
\[ \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) = 0 \implies \cos x = \sin x \]Da \( x \) ein spitze Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist, liefert das Lösen von \( \cos x = \sin x \):
\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
Da \( \dfrac{dr}{dx} > 0 \) für \( x < \dfrac{\pi}{4} \) und \( \dfrac{dr}{dx} < 0 \) für \( x > \dfrac{\pi}{4} \) gilt, besitzt \( r \) ein absolutes Maximum bei \( x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ \). In diesem Fall ist das Dreieck ABC gleichschenklig.