Die erste Ableitung wird verwendet, um die an eine Last in elektronischen Schaltungen abgegebene Leistung zu maximieren (optimieren).
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
In dem unten dargestellten elektronischen Stromkreis sind die Spannung \( E \) (in Volt) und der Widerstand \( r \) (in Ohm) konstant. \( R \) ist der Widerstand einer Last. In einem solchen Stromkreis ist der elektrische Strom \( i \) gegeben durch:
\[ i = \dfrac{E}{r + R} \]und die an die Last \( R \) abgegebene Leistung \( P \) ist gegeben durch:
\[ P = R i^2 \]Unter der Annahme, dass \( r \) und \( R \) positiv sind, bestimmen Sie \( R \) so, dass die an \( R \) abgegebene Leistung \( P \) maximal wird.
Lösung der Aufgabe anzeigen
Wir drücken zunächst die Leistung \( P \) durch \( E \), \( r \) und die Variable \( R \) aus, indem wir \( i = \dfrac{E}{r + R} \) in \( P = R i^2 \) einsetzen:
\[ P(R) = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]Wir differenzieren nun \( P \) nach der Variablen \( R \) unter Verwendung der Quotientenregel:
\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 \left[(r + R)^2 - R \cdot 2(r + R)\right]}{(r + R)^4} = \frac{E^2 \left[(r + R) - 2R\right]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]Um herauszufinden, ob \( P \) ein lokales Maximum besitzt, bestimmen wir die kritischen Punkte, indem wir \( \dfrac{dP}{dR} = 0 \) setzen und nach \( R \) auflösen:
\[ \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} = 0 \implies R = r \]Da \( r \) und \( R \) beide positiv sind (Widerstände), hat \( \dfrac{dP}{dR} \) nur einen kritischen Punkt bei \( R = r \). Darüber hinaus ist für \( R < r \) die Ableitung \( \dfrac{dP}{dR} \) positiv und \( P \) steigt an; für \( R > r \) ist \( \dfrac{dP}{dR} \) negativ und \( P \) fällt ab. Daher besitzt \( P \) bei \( R = r \) einen absoluten Maximalwert.
Die maximale Leistung wird ermittelt, indem \( R = r \) in \( P(R) \) eingesetzt wird:
\[ P(r) = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{r E^2}{(2r)^2} = \frac{r E^2}{4r^2} = \frac{E^2}{4r} \]Um folglich eine maximale Leistungsübertragung von der elektronischen Schaltung an die Last \( R \) zu erreichen, muss der Lastwiderstand \( R \) gleich dem inneren Widerstand \( r \) sein.
Als Beispiel ist unten der Graph von \( P(R) \) für \( E = 5 \) Volt und \( r = 100 \) Ohm dargestellt. Dies verdeutlicht anschaulich, dass \( P \) bei \( R = 100 \) Ohm (\( R = r \)) maximiert wird.
Betrachten wir \( P(R) \) genauer: Wenn \( R \) sich Null nähert, nähert sich \( P(R) \) dem Wert Null. Wenn \( R \) unbegrenzt wächst, nähert sich \( P(R) \) ebenfalls Null, da die horizontale Achse eine horizontale Asymptote des Graphen von \( P(R) \) ist. Somit erreicht \( P(R) \) bei einem endlichen Wert von \( R = r \) ein Maximum.