Die erste Ableitung wird verwendet, um die an einen Verbraucher in elektronischen Schaltkreisen gelieferte Leistung zu maximieren (optimieren).
Lösung des Problems
Wir drücken zunächst die Leistung \(P\) durch \(E\), \(r\) und die variable \(R\) aus, indem wir i = \(\dfrac{E}{(r + R)}\) in P = \(R i^2\) einsetzen.
\[ \text{P(R)} = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]
Wir differenzieren nun \(P\) nach der Variablen \(R\)
\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 [(r + R)^2 - R 2 (r + R)]}{[(r + R)^4]} = \frac{E^2 [(r + R) - 2 R]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]
Um herauszufinden, ob \(P\) ein lokales Maximum hat, müssen wir die kritischen Punkte finden, indem wir \(\dfrac{dP}{dR} = 0\) setzen und nach \(R\) auflösen.
Da \(r\) und \(R\) beide positiv sind (Widerstände), hat \(\dfrac{dP}{dR}\) nur einen kritischen Punkt bei \(R = r\). Auch für \(R \lt r\) ist \(\dfrac{dP}{dR}\) positiv und \(P\) steigt, und für \(R > r\) ist \(\dfrac{dP}{dR}\) negativ und \(P\) fällt. Folglich hat \(P\) einen Maximalwert bei \(R = r\). Die maximale Leistung erhält man, indem man \(R = r\) in \(P(R)\) einsetzt.
\[ \text{P(r)} = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{E^2}{4r} \]
Um also eine maximale Leistungsübertragung von der elektronischen Schaltung auf den Verbraucher \(R\) zu erreichen, muss der Widerstand von \(R\) gleich \(r\) sein.
Als Beispiel ist der Graph von \(P(R)\) für \(E = 5\) Volt und \(r = 100\) Ohm unten dargestellt, und er zeigt deutlich, dass \(P\) maximal ist, wenn \(R = 100\) Ohm = \(r\) ist.
