Wie man das Volumen einer Schachtel mithilfe der ersten Ableitung des Volumens maximiert. Ein Volumen-Optimierungsproblem mit Lösung.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
Aus einem Metallblech der Größe 12 mal 10 Zoll soll eine offene Schachtel hergestellt werden. An jeder Ecke werden Quadrate mit gleichen Seitenlängen \( x \) ausgeschnitten, und anschließend werden die Seiten hochgeklappt, um die Schachtel zu formen. Bestimmen Sie den Wert von \( x \), für den das Volumen maximal wird.
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Wir verwenden zunächst die Formel für das Volumen einer quaderförmigen Schachtel:
\[ V = L \times W \times H \]Die herzustellende Schachtel besitzt folgende Abmessungen:
- \( L = 12 - 2x \)
- \( W = 10 - 2x \)
- \( H = x \)
Wir stellen nun das Volumen der Schachtel als Funktion von \( x \) auf:
\[ V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(6 - x)(5 - x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x^3 - 44x^2 + 120x \]Wir bestimmen nun den Definitionsbereich der Funktion \( V(x) \). Alle Abmessungen der Schachtel müssen größer oder gleich Null sein:
\[ x \ge 0, \quad 12 - 2x \ge 0 \implies x \le 6, \quad 10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5 \]Das Lösen dieses Ungleichungssystems liefert den Definitionsbereich von \( V(x) \):
\[ 0 \le x \le 5 \]Wir berechnen nun die erste Ableitung von \( V(x) \):
\[ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(4(3x^2 - 22x + 30)\right) = 4(3x^2 - 22x + 30) = 12x^2 - 88x + 120 \]Um die kritischen Punkte zu finden, setzen wir \( \dfrac{dV}{dx} = 0 \), indem wir die quadratische Gleichung \( 3x^2 - 22x + 30 = 0 \) lösen:
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(3)(30)}}{2(3)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 360}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{124}}{6} \approx \frac{22 \pm 11{,}1355}{6} \]Dies ergibt zwei Lösungen:
\[ x_1 \approx \frac{33{,}1355}{6} \approx 5{,}52, \quad x_2 \approx \frac{10{,}8645}{6} \approx 1{,}81 \]Der Wert \( x \approx 5{,}52 \) liegt außerhalb des Definitionsbereichs \( [0, 5] \) und wird daher verworfen. Somit ist der einzige kritische Punkt im Definitionsbereich \( x \approx 1{,}81 \).
Wir werten \( V(x) \) nun an den kritischen Punkten und den Rändern des Definitionsbereichs aus:
- \( V(0) = 0 \)
- \( V(5) = 0 \)
- \( V(1{,}81) \approx 4(1{,}81)(1{,}81^2 - 11(1{,}81) + 30) \approx 96{,}77 \) Kubikzoll
Daher erreicht \( V(x) \) sein Maximum bei \( x \approx 1{,}81 \) Zoll. Der Graph der Funktion \( V(x) \) ist unten dargestellt und bestätigt das Maximum bei etwa \( x = 1{,}81 \).
