Wie man das Volumen einer Box mithilfe der ersten Ableitung maximiert. Ein Volumenoptimierungsproblem mit Lösung.
Lösung für Problem 1:
Wir verwenden zunächst die Formel für das Volumen einer rechteckigen Box.
\(V = L \times B \times H\)
Die herzustellende Box hat die folgenden Abmessungen:
\(L = 12 - 2x\)
\(B = 10 - 2x\)
\(H = x\)
Wir schreiben nun das Volumen der herzustellenden Box wie folgt:
\(V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x(x^2 - 11x + 30)\)
Wir bestimmen nun den Definitionsbereich der Funktion \(V(x)\). Alle Abmessungen der Box müssen positiv oder null sein, daher die Bedingungen
\(x \geq 0\) und \(6 - x \geq 0\) und \(5 - x \geq 0\)
Lösen Sie das obige System von Ungleichungen, um den Definitionsbereich der Funktion \(V(x)\) zu finden.
\(0 \leq x \leq 5\)
Lassen Sie uns nun die erste Ableitung von \(V(x)\) unter Verwendung ihres letzten Ausdrucks finden.
\(\dfrac{dV}{dx} = 4[3x^2 - 22x + 30]\)
Finden wir nun alle Werte von \(x\), für die \(\frac{dV}{dx} = 0\) gilt, indem wir die quadratische Gleichung lösen.
\(3x^2 - 22x + 30 = 0\)
Zwei Werte ergeben \(\frac{dV}{dx} = 0\):
\(x = 5.52\) und \(x = 1.81\), gerundet auf eine Dezimalstelle.
\(x = 5.52\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs und wird daher verworfen.
Lassen Sie uns nun die Werte von \(V(x)\) an der Stelle \(x = 1.81\) und an den Endpunkten des Definitionsbereichs untersuchen.
\(V(0) = 0\), \(v(5) = 0\) und \(V(1.81) = 96.77\) (gerundet auf zwei Dezimalstellen)
Also ist \(V(x)\) für \(x \approx 1.81\) Zoll maximal. Der Graph der Funktion \(V(x)\) ist unten dargestellt, und wir können deutlich sehen, dass es ein Maximum sehr nahe bei 1.8 gibt.
