Die erste Ableitung wird verwendet, um die Oberfläche einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zu minimieren.
Lösung für Problem 1:
Dieses Problem wurde bereits grafisch gelöst. Hier lösen wir es strenger mit der ersten Ableitung.
Wir verwenden zuerst die Formel für das Volumen einer Pyramide, um die Gleichung aufzustellen:
\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000\]
Die Pyramide besteht aus 4 Dreiecken und einem Quadrat (Grundfläche).
Die Fläche eines Dreiecks ist gegeben durch:
\( s = \dfrac{1}{2} H x \)
Die schräge Höhe \( H \) ist gegeben durch:
\( H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \)
Die Oberfläche \(S\) der Pyramide ergibt sich aus der Summe der Flächen der 4 Dreiecke und der Fläche der Grundfläche \( x^2 \).
\(S = 4 (\dfrac{1}{2} H x) + x^2\)
\(= 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2\)
Löse die Gleichung \(\dfrac{1}{3} h x^2 = 1000\) nach \(h\) auf, um zu erhalten:
\(h = \dfrac{3000}{x^2}\)
Ersetze \(h\) in der Formel für die Oberfläche durch \(\dfrac{3000}{x^2}\), um eine Formel für \(S\) zu erhalten, die nur von \(x\) (\(x\) positiv) abhängt, und schreibe sie wie folgt um:
\( S = 2x \sqrt{\left(\dfrac{3000}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \)
Forme \( S \) um zu:
\(S = \sqrt{(36 \times 10^6 + x^6)} \cdot \dfrac{1}{x} + x^2\)
\( \quad = \dfrac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2\)
Sei die Konstante \(k = 36 \times 10^6\) und differenziere \(S\) nach \(x\).
\(\dfrac{dS}{dx} = \left[\dfrac{3x^6(k + x^6)^{-1/2} - (k + x^6)^{1/2}}{x^2}\right] + 2x\)
Multipliziere Zähler und Nenner mit \((k + x^6)^{1/2}\) und vereinfache.
\(\dfrac{dS}{dx} = \dfrac{2x^6 - k}{x^2(k + x^6)^{1/2}} + 2x\)
Ein Graph von \(\dfrac{dS}{dx}\) ist unten dargestellt. Für \(x > 0\) hat \(\dfrac{dS}{dx}\) eine Nullstelle und ist links von dieser Nullstelle negativ und rechts von dieser Nullstelle positiv. Dies bedeutet, dass \(S\) einen Minimalwert hat, der gefunden werden kann, indem man \(\dfrac{dS}{dx} = 0\) setzt und nach \(x\) auflöst.
