Die erste Ableitung wird verwendet, um den Oberflächeninhalt einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zu minimieren.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
Unten ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge \( x \) und der Höhe \( h \) dargestellt. Bestimmen Sie den Wert von \( x \), so dass das Volumen der Pyramide \( 1000 \; \text{cm}^3 \) beträgt und ihr Oberflächeninhalt minimal wird.
Lösung der Aufgabe anzeigen
Dieses Problem wurde bereits grafisch gelöst. Hier lösen wir es strenger mithilfe der ersten Ableitung.
Wir verwenden zunächst die Formel für das Volumen einer Pyramide, um die Gleichung aufzustellen:
\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000 \]Die Pyramide besteht aus 4 dreieckigen Seitenflächen und 1 quadratischen Grundfläche. Der Flächeninhalt einer dreieckigen Seitenfläche ist gegeben durch:
\[ s = \frac{1}{2} H x \]Die Schräghöhe \( H \) ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
\[ H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \]Der Gesamtoberflächeninhalt \( S \) der Pyramide ist die Summe der Flächeninhalte der 4 Dreiecke und der Grundfläche \( x^2 \):
\[ S = 4\left(\frac{1}{2} H x\right) + x^2 = 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \]Lösen Sie die Volumengleichung \( \dfrac{1}{3} h x^2 = 1000 \) nach \( h \) auf:
\[ h = \frac{3000}{x^2} \]Setzen Sie \( h \) in die Formel für den Oberflächeninhalt ein, um \( S \) als Funktion von \( x \) allein auszudrücken:
\[ S(x) = 2x \sqrt{\left(\frac{3000}{x^2}\right)^2 + \frac{x^2}{4}} + x^2 = 2x \sqrt{\frac{9 \times 10^6}{x^4} + \frac{x^2}{4}} + x^2 \] \[ S(x) = 2x \sqrt{\frac{36 \times 10^6 + x^6}{4x^4}} + x^2 = 2x \cdot \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{2x^2} + x^2 \] \[ S(x) = \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2 \]Sei die Konstante \( k = 36 \times 10^6 \) und leiten Sie \( S \) nach \( x \) ab:
\[ \frac{dS}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}(k + x^6)^{-1/2}(6x^5) - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x \] \[ \frac{dS}{dx} = \frac{\frac{3x^6}{\sqrt{k + x^6}} - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x = \frac{3x^6 - (k + x^6)}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x \]
Für \( x > 0 \) besitzt \( \dfrac{dS}{dx} \) genau eine Nullstelle, ist links davon negativ und rechts davon positiv. Dies bestätigt, dass \( S \) einen Minimalwert besitzt, der sich durch Setzen von \( \dfrac{dS}{dx} = 0 \) bestimmen lässt:
\[ \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = 0 \implies \frac{2x^6 - k}{x^2} = -2x \sqrt{k + x^6} \]Sei \( u = x^3 \) (also \( u^2 = x^6 \)) und eingesetzt:
\[ 2x^6 - k = -2x^3 \sqrt{k + x^6} \implies 2u^2 - k = -2u \sqrt{k + u^2} \]Quadrieren Sie beide Seiten:
\[ (2u^2 - k)^2 = 4u^2(k + u^2) \implies 4u^4 + k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 + 4u^4 \] \[ k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 \implies k^2 = 8ku^2 \implies u^2 = \frac{k}{8} \]Da \( u > 0 \):
\[ u = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x^3 = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x = \left(\frac{k}{8}\right)^{1/6} \]Setzen Sie \( k = 36 \times 10^6 \) ein:
\[ x = \left(\frac{36 \times 10^6}{8}\right)^{1/6} = (4{,}500{,}000)^{1/6} \approx 16{,}19 \; \text{cm} \](Hinweis: Gerundet auf eine Dezimalstelle als \( 16{,}2 \; \text{cm} \).)
