Die erste Ableitung wird verwendet, um den zurückgelegten Weg zwischen zwei Punkten zu minimieren (zu optimieren).
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
Das Diagramm unten zeigt den Weg, den Wilson jeden Morgen zurücklegt, um Wasser vom Fluss zu seiner Farm zu holen. Helfen Sie Wilson, den von seinem Haus zur Farm zurückgelegten Gesamtweg zu minimieren.
Lösung der Aufgabe anzeigen
Zwei Methoden zur Lösung dieses Problems werden unten vorgeschlagen.
METHODE 1: Analysis (Erste Ableitung)
Im Diagramm unten ermitteln wir die Entfernungen \( d \) und \( D \), addieren sie und minimieren den Gesamtweg.
Die Gesamtdistanz \( T \) ist gegeben durch:
\[ T = d + D = \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(20 - x)^2 + 100} \]Wir bestimmen nun die erste Ableitung \( \dfrac{dT}{dx} \) von \( T \) nach \( x \), überprüfen, dass \( T \) einen Minimalwert besitzt, und ermitteln den Wert von \( x \), der \( T \) minimiert:
\[ \frac{dT}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]Der Graph von \( \dfrac{dT}{dx} \) ist unten dargestellt. Bei ungefähr \( x = 6{,}67 \) ist die erste Ableitung gleich Null; unterhalb dieses Wertes ist sie negativ und oberhalb davon positiv. Folglich besitzt \( T \) bei etwa \( x = 6{,}67 \) einen Minimalwert.
Setzen von \( \dfrac{dT}{dx} = 0 \), um den kritischen Wert zu finden:
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]Überkreuzmultiplikation:
\[ x \sqrt{(20 - x)^2 + 100} = (20 - x) \sqrt{x^2 + 25} \]Quadrieren beider Seiten:
\[ x^2 \left((20 - x)^2 + 100\right) = (20 - x)^2 (x^2 + 25) \] \[ x^2(400 - 40x + x^2 + 100) = (400 - 40x + x^2)(x^2 + 25) \] \[ x^2(x^2 - 40x + 500) = (x^2 - 40x + 400)(x^2 + 25) \] \[ x^4 - 40x^3 + 500x^2 = x^4 + 25x^2 - 40x^3 - 1000x + 400x^2 + 10000 \] \[ 500x^2 = 425x^2 - 1000x + 10000 \implies 75x^2 + 1000x - 10000 = 0 \]Dividieren der quadratischen Gleichung durch 25:
\[ 3x^2 + 40x - 400 = 0 \]Auflösen nach \( x \) mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und Auswahl des positiven Wertes:
\[ x = \frac{-40 + \sqrt{40^2 - 4(3)(-400)}}{2(3)} = \frac{-40 + \sqrt{1600 + 4800}}{6} = \frac{-40 + \sqrt{6400}}{6} = \frac{-40 + 80}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \; \text{km} \]METHODE 2: Geometrische Projektion
Wir konstruieren ein „virtuelles Haus“ (Spiegelbild) \( H \) auf der anderen Seite des Flusses. Damit die Gesamtdistanz \( d + D \) minimal wird, müssen die Punkte \( H \), \( O \) und \( F \) kollinear sein, da die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerade ist. Damit diese Punkte kollinear sind, müssen die Winkel \( HOH' \) und \( FOF' \) gleich groß sein, was bedeutet, dass ihre Tangenswerte gleich sind.
Berechnung der Tangenswerte für beide Winkel in Abhängigkeit von \( x \):
\[ \tan(HOH') = \frac{5}{x} \] \[ \tan(FOF') = \frac{10}{20 - x} \]Gleichsetzen der Tangenswerte:
\[ \frac{5}{x} = \frac{10}{20 - x} \]Auflösen nach \( x \):
\[ 5(20 - x) = 10x \implies 100 - 5x = 10x \implies 15x = 100 \implies x = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \; \text{km} \]