Minimierung der Gehstrecke
Optimierungsproblem
Die erste Ableitung wird verwendet, um die zwischen zwei Punkten zurückgelegte Strecke zu minimieren (optimieren).
Problem
Das folgende Diagramm zeigt den Weg, den Wilson jeden Morgen zurücklegt, um Wasser vom Fluss zu seinem Bauernhof zu holen. Helfen Sie Wilson, die gesamte Gehstrecke von seinem Haus zum Bauernhof zu minimieren.
Lösung des Problems
Zwei Methoden zur Lösung dieses Problems werden vorgeschlagen.
METHODE 1: Im Diagramm unten ermitteln wir die Entfernungen \(d\) und \(D\), addieren sie und minimieren die Gesamtstrecke.
\[d = \sqrt{x^2 + 5^2}\]
\[D = \sqrt{(20 - x)^2 + 10^2}\]
Die Gesamtstrecke \(T\) ist gegeben durch.
\[T = d + D = \sqrt{x^2 + 5^2} + \sqrt{(20-x)^2 + 10^2}\]
Wir müssen nun die erste Ableitung \(\dfrac{dT}{dx}\) von \(T\) nach \(x\) finden und überprüfen, ob \(T\) einen Minimalwert hat, und dann den Wert von \(x\) ermitteln, der \(T\) minimiert.
\[\dfrac{dT}{dx} = \dfrac{x \sqrt{(x - 20)^2 + 100} + (x - 20) \sqrt{x^2 + 25}}{\sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(x - 20)^2 + 100}}\]
Der Graph von \(\dfrac{dT}{dx}\) ist unten dargestellt. Bei ungefähr \(x = 6,6\) ist die erste Ableitung gleich Null; unterhalb dieses Wertes ist sie negativ und oberhalb dieses selben Wertes positiv. Folglich hat \(T\) ein Minimum bei etwa \(x = 6,6\). Lassen Sie uns den genauen Wert durch Berechnung ermitteln.
Der Wert von \(x\), der \(T\) minimiert, wird gefunden, indem \(\dfrac{dT}{dx} = 0\) gesetzt und die resultierende Gleichung gelöst wird. Man nennt ihn einen kritischen Wert der ersten Ableitung. \(\dfrac{dT}{dx} = 0\) ergibt:
\[x \sqrt{(x - 20)^2 + 100} + (x - 20) \sqrt{x^2 + 25} = 0\]
was geschrieben werden kann als
\[x \sqrt{(x - 20)^2 + 100} = - (x - 20) \sqrt{x^2 + 25}\]
Quadrieren Sie beide Seiten
\[x^2((x - 20)^2 + 100) = (x - 20)^2(x^2 + 25)\]
Erweitern und vereinfachen Sie, um die quadratische Gleichung zu erhalten
\[3x^2 + 40x - 400 = 0\]
Lösen Sie nach \(x\) und wählen Sie den positiven Wert
\[x = \dfrac{20}{3} = 6,67 \text{ km}\] (ungefähr)
METHODE 2: Wir "konstruieren ein virtuelles Haus" (Projektion) \(H\) auf der anderen Seite des Flusses. Damit dann die Strecke \(d + D\) minimal ist, müssen die Punkte \(H\), \(O\) und \(F\) auf einer Geraden liegen, da die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten entlang einer geraden Linie verläuft. Damit diese Punkte auf derselben Linie liegen, muss der Winkel \(HOH'\) (in seiner Größe) gleich dem Winkel \(FOF'\) sein, und die Tangens der beiden Winkel müssen gleich sein. Daher
Berechnen Sie den Tangens für beide Winkel in Abhängigkeit von \(x\) wie folgt
\[\tan(HOH') = \dfrac{5}{x}\]
\[\tan(FOF') = \dfrac{10}{20 - x}\]
\[\dfrac{10}{20 - x} = \dfrac{5}{x}\]
Lösen Sie nach \(x\) auf, um zu erhalten
\[x = \dfrac{20}{3} = 6,67 \text{ km}\] (ungefähr)
Referenzen und Links
Analysis-Aufgaben