Ein Problem zur Maximierung (Optimierung) des Flächeninhalts eines Rechtecks mit konstantem Umfang wird vorgestellt. Eine analytische Methode, basierend auf den Ableitungen einer Funktion und Analysis-Sätzen, wird entwickelt, um eine analytische Lösung für das Problem zu finden.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
Sie beschließen, ein Rechteck mit einem Umfang von \( 400 \; \text{mm} \) und maximalem Flächeninhalt zu konstruieren. Bestimmen Sie die Länge und die Breite des Rechtecks.
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Seien \( x \) (Breite, Strecke \( DC \)) und \( y \) (Länge, Strecke \( DA \)) die Abmessungen des Rechtecks. Der Flächeninhalt \( A \) und der Umfang \( P \) des Rechtecks sind gegeben durch:
\[ A = xy \] \[ P = 400 = 2x + 2y \]Lösen Sie die Umfangsgleichung nach \( y \) auf:
\[ y = 200 - x \]Setzen Sie \( y = 200 - x \) in die Flächenformel ein, um den Flächeninhalt als Funktion von \( x \) zu erhalten:
\[ A(x) = x(200 - x) = -x^2 + 200x \]Der Definitionsbereich der Funktion \( A(x) \) ist das abgeschlossene Intervall \( [0, 200] \), da \( x \ge 0 \) und \( y = 200 - x \ge 0 \) gilt (was \( x \le 200 \) impliziert).
Um den Wert von \( x \) zu finden, der \( A \) maximiert, berechnen wir die erste Ableitung \( \dfrac{dA}{dx} \):
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 200 \]Setzen von \( \dfrac{dA}{dx} = 0 \), um kritische Punkte zu finden:
\[ -2x + 200 = 0 \implies x = 100 \]An den Randpunkten des Definitionsbereichs ist \( A(0) = 0 \) und \( A(200) = 0 \). Die zweite Ableitung ist:
\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -2 \]Da die zweite Ableitung negativ ist (\( -2 < 0 \)), entspricht der kritische Punkt \( x = 100 \) nach dem Test der zweiten Ableitung einem lokalen Maximum (welches ein absolutes Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall ist).
Die entsprechende Länge beträgt \( y = 200 - 100 = 100 \; \text{mm} \), und der maximale Flächeninhalt ist \( A(100) = 100 \times 100 = 10000 \; \text{mm}^2 \). Die Wahl eines Rechtecks mit einer Breite von \( x = 100 \; \text{mm} \) und einer Länge von \( y = 100 \; \text{mm} \) (einem Quadrat) liefert somit den maximal möglichen Flächeninhalt.
Übungsaufgaben
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Aufgabe 1: Lösen Sie dasselbe Problem wie oben, jedoch mit einem Umfang von \( 500 \; \text{mm} \).
Lösung zu Aufgabe 1 anzeigen
Mithilfe der Umfangsformel \( 2x + 2y = 500 \implies y = 250 - x \). Die Flächenfunktion lautet:
\[ A(x) = x(250 - x) = -x^2 + 250x \]Bildung der ersten Ableitung:
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 250 = 0 \implies x = 125 \; \text{mm} \]Die Länge beträgt \( y = 250 - 125 = 125 \; \text{mm} \).
Fazit: Breite \( x = 125 \; \text{mm} \) und Länge \( y = 125 \; \text{mm} \) (ein Quadrat).