Verwende Ableitungen, um die Fläche eines Rechtecks mit gegebenem Umfang zu maximieren
Ein Problem zur Maximierung (Optimierung) der Fläche eines Rechtecks mit konstantem Umfang wird vorgestellt. Ein interaktives Applet (du benötigst Java auf deinem Computer) wird verwendet, um das Problem zu verstehen. Anschließend wird eine analytische Methode entwickelt, die auf den Ableitungen einer Funktion und einigen Theoremen der Analysis basiert, um eine analytische Lösung für das Problem zu finden.
Problem
Du beschließt, ein Rechteck mit einem Umfang von \(400 \, \text{mm}\) und einer maximalen Fläche zu konstruieren. Finde die Länge und die Breite des Rechtecks.
Lösung des Problems
Wir betrachten nun eine Lösung dieses Problems unter Verwendung von Ableitungen und anderen Konzepten der Analysis.
Sei \(x\) (= Entfernung DC) die Breite des Rechtecks und \(y\) (= Entfernung DA) seine Länge, dann kann die Fläche \(A\) des Rechtecks wie folgt geschrieben werden:
\[ A = xy \]
Der Umfang kann wie folgt geschrieben werden:
\[ P = 400 = 2x + 2y \]
Löse die Gleichung \(400 = 2x + 2y\) nach \(y\) auf:
\[ y = 200 - x \]
Wir ersetzen nun \(y = 200 - x\) in der Fläche \(A = xy\), um zu erhalten:
\[ A = x(200 - x) \]
Die Fläche \(A\) ist eine Funktion von \(x\). Wenn du die Breite \(x\) im Applet änderst, ändert sich die Fläche \(A\) im rechten Bereich.
Erweitere den Ausdruck für die Fläche \(A\) und schreibe ihn als Funktion von \(x\):
\[ A(x) = -x^2 + 200x \]
Wir können den Definitionsbereich der Funktion \(A(x)\) als alle Werte von \(x\) im geschlossenen Intervall \([0 , 200]\) betrachten, da \(x \geq 0\) und \(y = 200 - x \geq 0\) (wenn du die zweite Ungleichung löst, erhältst du \(x \leq 200\)).
Um den Wert von \(x\) zu finden, der eine maximale Fläche \(A\) ergibt, müssen wir die erste Ableitung \(\dfrac{dA}{dx}\) finden (\(A\) ist eine Funktion von \(x\)).
\[ \dfrac{dA}{dx} = -2x + 200 \]
Wenn \(A\) einen Maximalwert hat, liegt dieser bei einem \(x\) vor, für das \(\dfrac{dA}{dx} = 0\) gilt. An den Endpunkten des Definitionsbereichs haben wir \(A(0) = 0\) und \(A(200) = 0\).
\[ \dfrac{dA}{dx} = -2x + 200 = 0 \]
Löse die obige Gleichung nach \(x\) auf:
\[ x = 100 \]
\(\dfrac{dA}{dx}\) hat eine Nullstelle bei \(x = 100\).
Die zweite Ableitung \(\dfrac{d^2A}{dx^2} = -2\) ist negativ (siehe Theorem der Analysis zur Verwendung der ersten und zweiten Ableitung zur Bestimmung von Extrema von Funktionen). Der Wert der Fläche \(A\) bei \(x = 100\) beträgt \(10000 \, \text{mm}^2\) und ist der größte (das Maximum). Wenn du also ein Rechteck mit der Breite \(x = 100 \, \text{mm}\) und der Länge \(y = 200 - x = 200 - 100 = 100 \, \text{mm}\) (es ist ein Quadrat!) wählst, erhältst du ein Rechteck mit einer maximalen Fläche von \(10000 \, \text{mm}^2\).
Übungen
1 - Löse das gleiche Problem wie oben, aber mit einem Umfang von \(500 \, \text{mm}\).
Lösung der obigen Übung
Breite \(x = 125 \, \text{mm}\) und Länge \(y = 125 \, \text{mm}\).
Referenzen und Links
Analysis-Aufgaben