Ableitungen zur Problemlösung: Distanz-Zeit-Optimierung
Ein Problem zur Minimierung (Optimierung) der Zeit, die benötigt wird, um von einem Punkt zu einem anderen zu gehen, wird vorgestellt. Eine analytische Methode unter Verwendung von Ableitungen und anderen Konzepten und Theoremen der Analysis wird entwickelt, um eine analytische Lösung für das Problem zu finden.
Problem
Sie entscheiden sich, von Punkt A (siehe Abbildung unten) zu Punkt C zu gehen. Südlich der Straße durch BC ist das Gelände schwierig und Sie können nur mit \(3 \, \text{km/h}\) gehen. Entlang der Straße BC können Sie jedoch mit \(5 \, \text{km/h}\) gehen. Die Entfernung von Punkt A zur Straße beträgt \(5 \, \text{km}\). Die Entfernung von B nach C beträgt \(10 \, \text{km}\). Welchen Weg müssen Sie nehmen, um Punkt C in der kürzestmöglichen (minimalen) Zeit zu erreichen?
Lösung des Problems
Nehmen wir an, Sie folgen dem Pfad von A nach P und von P nach C entlang gerader Linien.
Wir betrachten nun eine Lösung mit Ableitungen und anderen Konzepten der Analysis. Die Entfernung BP sei gleich \(x\). Lassen Sie uns eine Formel für die Entfernungen AP und PC finden. Mit dem Satz des Pythagoras können wir schreiben:
Entfernung AP = \(\sqrt{5^2 + x^2}\)
Entfernung PC = \(10 - x\)
Wir finden nun die Zeit \(t_1\), um die Strecke AP zurückzulegen. (Zeit = Entfernung / Geschwindigkeit).
\(t_1 = \dfrac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3}\)
Die Zeit \(t_2\) für die Strecke PC ist gegeben durch
\(t_2 = \dfrac{10 - x}{5}\)
Die Gesamtzeit \(t\) ergibt sich durch Addition von \(t_1\) und \(t_2\).
\(t = \dfrac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \dfrac{10 - x}{5}\)
Wir könnten den Definitionsbereich der Funktion \(t\) als alle Werte von \(x\) im abgeschlossenen Intervall \([0 , 10]\) betrachten. Für Werte von \(x\), bei denen Punkt \(P\) links von \(B\) oder rechts von \(C\) liegt, wird die Zeit \(t\) zunehmen.
Um den Wert von \(x\) zu finden, der \(t\) minimiert, müssen wir die erste Ableitung \(\dfrac{dt}{dx}\) finden (\(t\) ist eine Funktion von \(x\)).
\(\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{\dfrac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \dfrac{1}{5}\)
Wenn \(t\) einen Minimalwert hat, tritt er bei einem \(x\) auf, für das \(\dfrac{dt}{dx} = 0\) gilt.
\(\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \dfrac{1}{5} = 0\)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \(x\). Schreiben Sie die Gleichung wie folgt um.
\(5x = 3\sqrt{5^2 + x^2}\)
Quadrieren Sie beide Seiten.
\(25x^2 = 9(5^2 + x^2)\)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie.
\(16x^2 = 225\)
Lösen Sie nach \(x\) auf (\(x >0 \)).
\(x = \sqrt{\dfrac{225}{16}} = 3.75 \, \text{km}.\)
\(\dfrac{dt}{dx}\) hat eine Nullstelle. Die Vorzeichentabelle der ersten Ableitung \(\dfrac{dt}{dx}\) ist unten dargestellt.
Die erste Ableitung \(\dfrac{dt}{dx}\) ist negativ für \(x < 3.75\), gleich Null bei \(x = 3.75\) und positiv für \(x > 3.75\). Die Werte von \(t\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 10\) (den Endpunkten des Definitionsbereichs von \(t\)) betragen \(3.6 \, \text{h}\) bzw. \(3.7 \, \text{h}\). Der Wert von \(t\) bei \(x = 3.75\) beträgt \(3.3 \, \text{h}\) und ist der kleinste. Die Antwort auf unser Problem lautet, dass man zu Punkt \(P\) gehen muss, so dass \(BP = 3.75 \, \text{km}\) ist, und dann die Straße entlang nach \(C\) weitergehen muss, um in der kürzestmöglichen Zeit dort anzukommen.
Übungen
1 - Lösen Sie das gleiche Problem wie oben, aber mit den folgenden Werten.
Lösung zur obigen Übung
\(x = 6.26 \, \text{km}\) (gerundet auf 2 Dezimalstellen).
Referenzen und Links
Analysis-Aufgaben