Ein Problem zur Minimierung (Optimierung) der Zeit, die benötigt wird, um von einem Punkt zum anderen zu gehen, wird vorgestellt. Eine analytische Methode, die Ableitungen und andere Analysis-Konzepte sowie -Sätze verwendet, wird entwickelt, um eine analytische Lösung für das Problem zu finden.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
Sie beschließen, von Punkt A (siehe Abbildung unten) zu Punkt C zu gehen. Südlich der Straße durch BC ist das Gelände schwierig und Sie können sich nur mit einer Geschwindigkeit von \( 3 \; \text{km/h} \) fortbewegen. Entlang der Straße BC können Sie jedoch mit \( 5 \; \text{km/h} \) gehen. Die Entfernung von Punkt A zur Straße beträgt \( 5 \; \text{km} \). Die Entfernung von B nach C beträgt \( 10 \; \text{km} \). Welchen Weg müssen Sie einschlagen, um in der kürzesten (minimalen) Zeit bei Punkt C anzukommen?
Lösung der Aufgabe anzeigen
Nehmen wir an, dass Sie den Weg von A nach P und von P nach C auf geraden Linien zurücklegen. Sei die Entfernung BP gleich \( x \). Unter Verwendung des Satzes von Pythagoras können wir die Entfernungen AP und PC ausdrücken:
Wir bestimmen nun die Zeit \( t_1 \) für das Zurücklegen der Strecke AP (\( \text{Zeit} = \text{Entfernung} / \text{Geschwindigkeit} \)):
\[ t_1 = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} \]Die Zeit \( t_2 \) für das Zurücklegen der Strecke PC ist gegeben durch:
\[ t_2 = \frac{10 - x}{5} \]Die Gesamtzeit \( t \) ergibt sich durch Addition von \( t_1 \) und \( t_2 \):
\[ t(x) = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \frac{10 - x}{5} \]Der Definitionsbereich der Funktion \( t(x) \) ist das abgeschlossene Intervall \( [0, 10] \). Für Werte von \( x \) außerhalb dieses Intervalls (bei denen Punkt P links von B oder rechts von C liegt) erhöht sich die Gesamtzeit.
Um den Wert von \( x \) zu finden, der \( t \) minimiert, berechnen wir die erste Ableitung \( \dfrac{dt}{dx} \):
\[ \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \frac{1}{5} \]Setzen von \( \dfrac{dt}{dx} = 0 \), um kritische Punkte zu finden:
\[ \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{5} \]Überkreuzmultiplikation:
\[ 5x = 3\sqrt{25 + x^2} \]Quadrieren beider Seiten:
\[ (5x)^2 = 9(25 + x^2) \implies 25x^2 = 225 + 9x^2 \]Zusammenfassen gleichartige Terme:
\[ 16x^2 = 225 \implies x^2 = \frac{225}{16} \]Auflösen nach \( x \) (\( x > 0 \)):
\[ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3{,}75 \; \text{km} \]
Die erste Ableitung \( \dfrac{dt}{dx} \) ist negativ für \( x < 3{,}75 \), gleich Null bei \( x = 3{,}75 \) und positiv für \( x > 3{,}75 \). Die Auswertung von \( t(x) \) an den Randpunkten ergibt \( t(0) \approx 3{,}6 \; \text{h} \) und \( t(10) \approx 3{,}7 \; \text{h} \), während bei \( x = 3{,}75 \) der Wert \( t(3{,}75) \approx 3{,}3 \; \text{h} \) (das Minimum) erreicht wird.
Fazit: Sie müssen zu dem Punkt P gehen, für den \( BP = 3{,}75 \; \text{km} \) gilt, und von dort aus entlang der Straße nach C weitergehen, um in kürzester Zeit anzukommen.
Übungsaufgaben
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Aufgabe 1: Lösen Sie dasselbe Problem wie oben, jedoch mit den in dem Diagramm unten gezeigten abgeänderten Parametern.
Abbildung 4. Diagramm für die Übungsaufgabe Lösung zu Aufgabe 1 anzeigen
Unter Anwendung derselben analytischen Ableitungsmethode mit den Parametern der Aufgabe:
\[ x = 6{,}26 \; \text{km} \quad (\text{gerundet auf 2 Dezimalstellen}) \]