Verwenden Sie die erste Ableitung, um die Gleichung einer quadratischen Funktion zu bestimmen, wenn Tangenten an den Graphen dieser Funktion gegeben sind.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
a) Bestimmen Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion, deren Graph bei \( x = 1 \) an die Gerade mit der Steigung 8, bei \( x = -2 \) an die Gerade mit der Steigung \(-4\) tangential anliegt und die horizontale Gerade \( y = -8 \) berührt.
b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten bei \( x = 1 \) und \( x = -2 \).
c) Zeichnen Sie die erhaltene quadratische Funktion und die 3 Tangenten in dasselbe Koordinatensystem und beschriften Sie die Tangenten sowie die Berührungspunkte.
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a) Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion \( f \) wird durch ihre erste Ableitung gegeben. Sei \( f \) die in Normalform geschriebene quadratische Funktion:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]Die erste Ableitung von \( f \) lautet:
\[ f'(x) = 2ax + b \]Da die Steigung der Tangente dem Wert der Ableitung im Berührpunkt entspricht, können wir zwei Gleichungen aus den Tangenten bei \( x = 1 \) und \( x = -2 \) aufstellen:
\[ f'(1) = 2a(1) + b = 8 \] \[ f'(-2) = 2a(-2) + b = -4 \]Lösen dieses linearen Gleichungssystems:
\[ 2a + b = 8 \] \[ -4a + b = -4 \]Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten liefert \( 6a = 12 \implies a = 2 \). Das Einsetzen von \( a = 2 \) in \( 2(2) + b = 8 \) ergibt \( b = 4 \).
Die dritte Tangente \( y = -8 \) ist horizontal, ihre Steigung beträgt also \( 0 \). Eine horizontale Gerade ist tangential zu einer Parabel an ihrem Scheitelpunkt. Die \( x \)-Koordinate des Scheitelpunkts \( h \) wird ermittelt, indem man \( f'(x) = 0 \) setzt:
\[ 2ah + b = 0 \implies h = -\frac{b}{2a} \]Einsetzen von \( a = 2 \) und \( b = 4 \):
\[ h = -\frac{4}{2(2)} = -1 \]Der Graph der quadratischen Funktion hat seinen Scheitelpunkt bei \( (-1, -8) \), was bedeutet, dass \( f(-1) = -8 \) gilt:
\[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 2(1) + 4(-1) + c = -8 \] \[ 2 - 4 + c = -8 \implies -2 + c = -8 \implies c = -6 \]Somit lautet die quadratische Funktion \( f \):
\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 6 \]b) Da wir nun die Gleichung der quadratischen Funktion kennen, ermitteln wir die \( y \)-Koordinaten der Berührungspunkte bei \( x = 1 \) und \( x = -2 \):
- Bei \( x = 1 \): \( y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0 \text{ (Punkt } (1, 0) \text{)} \).
- Bei \( x = -2 \): \( y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -6 \text{ (Punkt } (-2, -6) \text{)} \).
Unter Verwendung der Punkt-Steigungs-Form \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
- Tangente bei \( x = 1 \) (Steigung \( m = 8 \), verläuft durch \( (1, 0) \)): \( y - 0 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 8 \)
- Tangente bei \( x = -2 \) (Steigung \( m = -4 \), verläuft durch \( (-2, -6) \)): \( y - (-6) = -4(x - (-2)) \implies y + 6 = -4(x + 2) \implies y = -4x - 14 \)
c) Graphen der quadratischen Funktion und aller drei Tangenten:
