\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Die erste Ableitung von \(f\) ist gegeben durch
\(f'(x) = 2ax + b\)
Aus der Eigenschaft der ersten Ableitung folgt, dass die Steigung der Tangentenlinie gleich dem Wert der Ableitung am Berührungspunkt ist. Daher können wir zwei Gleichungen in Bezug auf die Tangenten bei \(x = 1\) und \(x = -2\) wie folgt aufstellen:
\(f'(1) = 2a(1) + b = 8\)
\(f'(-2) = 2a(-2) + b = -4\)
Lösen Sie das obige Gleichungssystem, um zu erhalten:
\(a = 2\) und \(b = 4\)
Die dritte Tangente \(y = -8\) ist eine horizontale Linie und ihre Steigung ist gleich 0. Eine horizontale Linie tangiert den Graphen einer quadratischen Funktion, die eine Parabel ist, am Scheitelpunkt. Also ist \(y = -8\) die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts, genannt \(h\), wird durch Lösen von
\(f'(x) = 2ah + b = 0\)
gefunden, was ergibt
\(h = -\frac{b}{2a}\)
Setzen Sie die oben gefundenen Werte für \(a\) und \(b\) ein, um zu finden:
\(h = -\frac{4}{4} = -1\)
Der Graph der quadratischen Funktion hat einen Scheitelpunkt bei (-1, -8) und daher
\(f(-1) = a(-1)^2 + 4(-1) + c = -8\)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \(c\) auf, um zu erhalten:
\(c = -6\)
Die quadratische Funktion \(f\) ist gegeben durch
\(f(x) = 2x^2 + 4x - 6\)
b) Nachdem wir nun die Gleichung der quadratischen Funktion kennen, können wir die \(y\)-Koordinaten der Berührungspunkte der Tangenten bei \(x = 1\) und \(x = -2\) wie folgt ermitteln:
bei \(x = 1\), \(y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0\). Die Tangente bei \(x = 1\) verläuft durch den Punkt \( (1,0) \).
bei \(x = -2\), \(y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -6\). Die Tangente bei \(x = -2\) verläuft durch den Punkt \( (-2 , -6) \).
Für jede der beiden Tangenten kennen wir die Steigung und einen Punkt und können daher ihre Gleichungen finden.
Die Gleichung der Tangente bei \(x = 1\) hat die Steigung 8 und verläuft durch \( (1 , 0) \); ihre Gleichung lautet: \(y = 8x - 8\)
Die Gleichung der Tangente bei \(x = -2\) hat die Steigung \( -4 \) und verläuft durch \( (-2 , -6) \); ihre Gleichung lautet: \(y = -4x - 14\)
c) Graphen der quadratischen Funktion und aller drei Tangenten.
