Löse Probleme mit Änderungsraten in der Analysis

Probleme mit Änderungsraten in der Analysis und ihre detaillierten Lösungen werden vorgestellt.

Problem 1

Ein rechteckiger Wassertank (siehe Abbildung unten) wird mit einer konstanten Rate von \(20\) Litern / Sekunde befüllt. Die Grundfläche des Tanks hat die Abmessungen \(w = 1\) Meter und \(L = 2\) Meter. Wie groß ist die Änderungsrate der Höhe des Wassers im Tank? (Geben Sie die Antwort in cm / Sekunde an).

Tangentiallinien an den Graphen von y = x^3 - 3x

Lösung zu Problem 1:
Das Volumen \(V\) des Wassers im Tank ist gegeben durch.
\(V = w \times L \times H\)
Wir kennen die Änderungsrate des Volumens \(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 20\) Liter /sek.
Wir müssen die Änderungsrate der Höhe \(H\) des Wassers \(\dfrac{{dH}}{{dt}}\) finden. \(V\) und \(H\) sind Funktionen der Zeit.
Differenzieren Sie beide Seiten der obigen Volumenformel, um zu erhalten
\(\dfrac{{dV}}{{dt}} = w \times L \times \dfrac{{dH}}{{dt}}\)
Hinweis dass \(w\) und \(L\) sich nicht mit der Zeit ändern und daher bei der obigen Differentiationsoperation als Konstanten betrachtet werden.
Wir finden nun eine Formel für \(\dfrac{{dH}}{{dt}}\) wie folgt.
\(\dfrac{{dH}}{{dt}} = \dfrac{{\dfrac{{dV}}{{dt}}}}{{w \times L}}\)
Wir müssen Liter in Kubikzentimeter und Meter in Zentimeter wie folgt umrechnen
\(1\) Liter = \(1\) Kubikdezimeter
\(= 1000\) Kubikzentimeter
\(= 1000\) cm^3
und \(1\) Meter = \(100\) Zentimeter.
Wir berechnen nun die Änderungsrate der Höhe \(H\) des Wassers.
\(\dfrac{{dH}}{{dt}} = \dfrac{{\dfrac{{dV}}{{dt}}}}{{w \times L}}\)
\(= \dfrac{{(20 \times 1000 \, \text{cm}^3/\text{sek})}}{{(100 \, \text{cm} \times 200 \, \text{cm})}}\)
\(= 1\) cm / sek.

Problem 2

Ein Flugzeug fliegt in einer geraden Richtung und in einer konstanten Höhe von \(5000\) Metern (siehe Abbildung unten). Der Höhenwinkel des Flugzeugs von einem festen Beobachtungspunkt ist \(a\). Die Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt \(500\) km / h. Wie groß ist die Änderungsrate des Winkels \(a\), wenn dieser 25 Grad beträgt? (Geben Sie die Antwort in Grad / Sekunde an und runden Sie auf eine Dezimalstelle).

Tangentiallinien an den Graphen von y = x^3 - 3x

Lösung zu Problem 2:
Das Flugzeug fliegt horizontal mit der Rate \(\dfrac{{dx}}{{dt}} = 500\) km/h. Wir benötigen eine Beziehung zwischen Winkel \(a\) und Entfernung \(x\). Aus der Trigonometrie können wir schreiben
\( \tan \, a = \dfrac{{h}}{{x}}\)
Winkel \(a\) und Entfernung \(x\) sind beide Funktionen der Zeit \(t\). Differenzieren Sie beide Seiten der obigen Formel nach \(t\).
\(\dfrac{{d( \tan \, a)}}{{dt}} = \dfrac{{d(\dfrac{{h}}{{x}})}}{{dt}}\)
Wir verwenden nun die Kettenregel, um die Terme in der obigen Formel weiter zu entwickeln
\(\dfrac{{d( \tan \, a)}}{{dt}} = (sec^2 \, a) \dfrac{{da}}{{dt}}\)
\(\dfrac{{d(\dfrac{{h}}{{x}})}}{{dt}} = h \left( \dfrac{{-1}}{{x^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}}\).
(Hinweis: Höhe \(h\) ist konstant)
Setzen Sie das Obige in die ursprüngliche Formel ein, um zu erhalten
\(( \sec^2 \, a) \dfrac{{da}}{{dt}} = h \left( \dfrac{{-1}}{{x^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}}\)
Das Obige kann geschrieben werden als
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left[ h \left( \dfrac{{-1}}{{x^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}} \right] / ( \sec^2 \, a)\)
Wir verwenden nun die erste Formel, um \(x\) in Abhängigkeit von \(a\) und \(h\) wie folgt zu finden
\(x = \dfrac{{h}}{{ \tan \, a}}\)
Setzen Sie das Obige in die Formel für \(\dfrac{{da}}{{dt}}\) ein und vereinfachen Sie
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left[ h \left( \dfrac{{- \tan^2 a}}{{h^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}} \right] / ( \sec^2 \, a)\)
\(= \left[ \left( \dfrac{{- \tan^2 a}}{{h}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}} \right] / (sec^2 \, a)\)
Verwenden Sie die Werte für \(a\), \(h\) und \(\dfrac{{dx}}{{dt}}\), um \(\dfrac{{da}}{{dt}}\) mit der korrekten Einheitenumrechnung zu approximieren: \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) und \(1 \, \text{Stunde} = 3600 \, \text{sek}\).
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left[ - \sin^2(25 \, \text{deg}) \dfrac{{500 \, \text{000} \, \text{m}}}{{3600 \, \text{sek}}} \right]\)
\(= -0.005 \, \text{radiant/sek}\)
\(= -0.005 \times \left[ \dfrac{{180 \, \text{grad}}}{{\pi \, \text{radiant}}} \right] / \text{sek}\)
\(= -0.3 \, \text{grad/sek}\)

Problem 3

Wenn zwei Widerstände mit den Widerstandswerten \(R_1\) und \(R_2\) wie in der Abbildung unten parallel geschaltet werden, ist ihr elektrisches Verhalten äquivalent zu einem Widerstand mit dem Widerstandswert \(R\), so dass gilt
\(\dfrac{{1}}{{R}} = \dfrac{{1}}{{R_1}} + \dfrac{{1}}{{R_2}}\)

Wenn sich \(R_1\) mit der Zeit mit einer Rate \(r = \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\) ändert und \(R_2\) konstant ist, drücken Sie die Änderungsrate \(\dfrac{{dR}}{{dt}}\) des Widerstandes von \(R\) in Abhängigkeit von \(\dfrac{{dR_1}}{{dt}}\), \(R_1\) und \(R_2\) aus.

Tangentiallinien an den Graphen von y = x^3 - 3x

Lösung zu Problem 3:
Wir beginnen damit, beide Seiten der gegebenen Formel für den Widerstand \(R\) nach der Zeit zu differenzieren, wobei wir beachten, dass \(R_2\) konstant ist und \(\dfrac{{d(1/R_2)}}{{dt}} = 0\) gilt.
\(\left( \dfrac{{-1}}{{R^2}} \right) \dfrac{{dR}}{{dt}} = \left( \dfrac{{-1}}{{R_1^2}} \right) \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
Stellen Sie das Obige um, um zu erhalten
\(\dfrac{{dR}}{{dt}} = \left( \dfrac{{R}}{{R_1}} \right)^2 \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
Aus der Formel \(\dfrac{{1}}{{R}} = \dfrac{{1}}{{R_1}} + \dfrac{{1}}{{R_2}}\) können wir schreiben
\(R = \dfrac{{R_1 \times R_2}}{{R_1 + R_2}}\)
Setzen Sie \(R\) in die Formel für \(\dfrac{{dR}}{{dt}}\) ein und vereinfachen Sie
\(\dfrac{{dR}}{{dt}} = \left( \dfrac{{R_1 \times R_2}}{{R_1 \times (R_1 + R_2)}} \right)^2 \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
\(= \left( \dfrac{{R_2}}{{R_1 + R_2}} \right)^2 \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)

Übungen

1 - Finden Sie eine Formel für die Änderungsrate \(\dfrac{{dV}}{{dt}}\) des Volumens eines Ballons, der so aufgeblasen wird, dass sein Radius \(R\) mit einer Rate von \(\dfrac{{dR}}{{dt}}\) zunimmt.
2 - Finden Sie eine Formel für die Änderungsrate \(\dfrac{{dA}}{{dt}}\) der Fläche \(A\) eines Quadrats, dessen Seite \(x\) Zentimeter sich mit einer Rate von \(2\) cm/sek ändert.
3 - Zwei Autos starten vom selben Punkt in zwei Richtungen, die einen 90-Grad-Winkel bilden, mit den konstanten Geschwindigkeiten \(s_1\) und \(s_2\). Finden Sie eine Formel für die Änderungsrate der Entfernung \(D\) zwischen den beiden Autos.

Lösungen zu den obigen Übungen

1 -    \(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 4 \times \pi \times R^2 \times \dfrac{{dR}}{{dt}}\)
2 -    \(\dfrac{{dA}}{{dt}} = 4x \, \text{cm}^2/\text{sek}\)
3 -    \(\dfrac{{dD}}{{dt}} = \sqrt{{s_1^2 + s_2^2}}\)

Referenzen und Links

Aufgaben zur Analysis