Probleme zu Änderungsraten in der Analysis und deren detaillierte Lösungen werden unten vorgestellt.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Durchgearbeitete Beispiele
Aufgabe 1
Ein rechteckiger Wassertank (siehe Abbildung unten) wird mit einer konstanten Rate von \( 20 \) Litern/Sekunde gefüllt. Die Grundfläche des Tanks hat die Abmessungen \( w = 1 \) Meter und \( L = 2 \) Meter. Wie schnell ändert sich die Höhe des Wassers im Tank? (Geben Sie die Antwort in cm/s an).
Lösung zu Aufgabe 1 anzeigen
Das Volumen \( V \) des Wassers im Tank ist gegeben durch:
\[ V = w \times L \times H \]Wir kennen die Änderungsrate des Volumens \( \dfrac{dV}{dt} = 20 \) Liter/s. Wir müssen die Änderungsrate der Höhe \( H \) ermitteln, das ist \( \dfrac{dH}{dt} \). Da \( V \) und \( H \) Funktionen der Zeit \( t \) sind, leiten wir beide Seiten der Volumenformel nach \( t \) ab:
\[ \frac{dV}{dt} = w \times L \times \frac{dH}{dt} \]Beachten Sie, dass sich \( w \) und \( L \) nicht mit der Zeit ändern und daher bei der Ableitung als Konstanten behandelt werden.
Nach \( \dfrac{dH}{dt} \) aufgelöst:
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\dfrac{dV}{dt}}{w \times L} \]Wir rechnen die Einheiten in Zentimeter und Kubikzentimeter um:
- \( 1 \) Liter = \( 1 \) Kubikdezimeter = \( 1000 \; \text{cm}^3 \)
- \( 1 \) Meter = \( 100 \; \text{cm} \)
Einsetzen der Werte:
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{20 \times 1000 \; \text{cm}^3/\text{s}}{100 \; \text{cm} \times 200 \; \text{cm}} = \frac{20.000}{20.000} = 1 \; \text{cm/s} \]Aufgabe 2
Ein Flugzeug fliegt geradlinig und in einer konstanten Höhe von \( 5000 \) Metern (siehe Abbildung unten). Der Höhenwinkel des Flugzeugs von einem festen Beobachtungspunkt aus beträgt \( a \). Die Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt \( 500 \) km/h. Wie schnell ändert sich der Winkel \( a \), wenn er \( 25^\circ \) beträgt? (Geben Sie die Antwort in Grad/Sekunde an und runden Sie auf eine Dezimalstelle).
Lösung zu Aufgabe 2 anzeigen
Das Flugzeug fliegt horizontal mit der Rate \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/h} \). Aus der Trigonometrie verknüpfen wir den Winkel \( a \), die Höhe \( h \) und die horizontale Entfernung \( x \):
\[ \tan a = \frac{h}{x} \]Da \( a \) und \( x \) Funktionen der Zeit \( t \) sind, leiten wir beide Seiten nach \( t \) ab:
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} \]Unter Verwendung der Kettenregel:
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = (\sec^2 a) \frac{da}{dt} \] \[ \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} = h \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{dx}{dt} \quad (\text{da } h \text{ konstant ist}) \]Gleichsetzen beider Ableitungen:
\[ (\sec^2 a) \frac{da}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \implies \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} \]Aus \( \tan a = \dfrac{h}{x} \) erhalten wir \( x = \dfrac{h}{\tan a} \). Einsetzen von \( x^2 = \dfrac{h^2}{\tan^2 a} \):
\[ \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h \tan^2 a}{h^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} = -\frac{\tan^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2 a = -\frac{\sin^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \]Unter Verwendung von Einheitenumrechnungen (\( 1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m} \), \( 1 \; \text{Stkunde} = 3600 \; \text{s} \)), der Geschwindigkeit \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/h} = \dfrac{500.000 \; \text{m}}{3600 \; \text{s}} \), der Höhe \( h = 5000 \; \text{m} \) und \( a = 25^\circ \):
\[ \frac{da}{dt} = -\frac{\sin^2(25^\circ)}{5000} \left(\frac{500.000}{3600}\right) \approx -0{,}005 \; \text{rad/s} \]Umrechnung von Bogenmaß in Grad (\( 180/\pi \)):
\[ \frac{da}{dt} = -0{,}005 \times \frac{180}{\pi} \approx -0{,}2865 \approx -0{,}3 \; \text{Grad/s} \]Aufgabe 3
Wenn zwei Widerstände mit den Widerstandswerten \( R_1 \) und \( R_2 \) wie in der Abbildung unten parallel geschaltet sind, ist ihr elektrisches Verhalten äquivalent zu einem Widerstand mit dem Widerstand \( R \), so dass gilt:
\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]Wenn sich \( R_1 \) mit der Zeit mit einer Rate \( \dfrac{dR_1}{dt} \) ändert und \( R_2 \) konstant ist, drücken Sie die Änderungsrate \( \dfrac{dR}{dt} \) durch \( \dfrac{dR_1}{dt} \), \( R_1 \) und \( R_2 \) aus.
Lösung zu Aufgabe 3 anzeigen
Differentiation beider Seiten der Gleichung für den Paralleledarstellung des Widerstands nach der Zeit \( t \) (wobei zu beachten ist, dass \( R_2 \) konstant ist):
\[ -\frac{1}{R^2} \frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2} \frac{dR_1}{dt} \]Umstellen nach \( \dfrac{dR}{dt} \):
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{R}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]Aus \( \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \) können wir \( R \) explizit ausdrücken:
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]Einsetzen von \( R \) in die Ableitungsgleichung:
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]Übungsaufgaben & Lösungen
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Finden Sie eine Formel für die Änderungsrate \( \dfrac{dV}{dt} \) des Volumens eines Ballons, der so aufgeblasen wird, dass sein Radius \( R \) mit einer Rate wächst, die gleich \( \dfrac{dR}{dt} \) ist.
Lösung zu Übungsaufgabe 1 anzeigen
\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} \] -
Finden Sie eine Formel für die Änderungsrate \( \dfrac{dA}{dt} \) des Flächeninhalts \( A \) eines Quadrats, dessen Seitenlänge \( x \) Zentimeter sich mit einer Rate von \( 2 \; \text{cm/s} \) ändert.
Lösung zu Übungsaufgabe 2 anzeigen
\[ A = x^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = 2x(2) = 4x \; \text{cm}^2/\text{s} \] -
Zwei Autos beginnen sich vom selben Punkt aus in zwei Richtungen zu bewegen, die einen Winkel von \( 90^\circ \) einschließen, mit konstanten Geschwindigkeiten \( s_1 \) und \( s_2 \). Finden Sie eine Formel für die Änderungsrate der Entfernung \( D \) zwischen den beiden Autos.
Lösung zu Übungsaufgabe 3 anzeigen
\[ D^2 = x^2 + y^2 \] Implizite Ableitung nach \( t \): \[ 2D \frac{dD}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} \implies \frac{dD}{dt} = \frac{x s_1 + y s_2}{D} \] Da \( x = s_1 t \), \( y = s_2 t \) und \( D = \sqrt{(s_1 t)^2 + (s_2 t)^2} = t\sqrt{s_1^2 + s_2^2} \) gilt: \[ \frac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \]