Tangentenprobleme und deren Lösungen unter Verwendung der ersten Ableitungen werden vorgestellt.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Durchgearbeitete Beispiele
Aufgabe 1
Bestimmen Sie alle Punkte auf dem Graphen von \( y = x^3 - 3x \), in denen die Tangente parallel zur x-Achse verläuft (oder eine horizontale Tangente ist).
Lösung zu Aufgabe 1 anzeigen
Geraden, die parallel zur x-Achse sind, haben eine Steigung von \( 0 \). Die Steigung einer Tangente an den Graphen von \( y = x^3 - 3x \) wird durch die erste Ableitung \( y' \) gegeben:
\[ y' = 3x^2 - 3 \]Wir finden alle Werte von \( x \), für die \( y' = 0 \) gilt:
\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ und } x = 1 \]Wir setzen diese \( x \)-Koordinaten in die Ausgangsgleichung \( y = x^3 - 3x \) ein, um die entsprechenden \( y \)-Koordinaten zu ermitteln:
- Für \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \implies (-1, 2) \)
- Für \( x = 1 \): \( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \implies (1, -2) \)
Die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur x-Achse verlaufen, sind \( (-1, 2) \) und \( (1, -2) \).
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Konstanten \( a \) und \( b \), so dass die Gerade \( y = -3x + 4 \) bei \( x = 1 \) an den Graphen von \( y = ax^3 + bx \) tangential anliegt.
Lösung zu Aufgabe 2 anzeigen
Um \( a \) und \( b \) zu bestimmen, benötigen wir zwei Gleichungen. Erstens liegt der Berührpunkt sowohl auf der Kurve \( y = ax^3 + bx \) als auch auf der Tangente \( y = -3x + 4 \) bei \( x = 1 \). Daher sind ihre \( y \)-Koordinaten bei \( x = 1 \) gleich:
\[ a(1)^3 + b(1) = -3(1) + 4 \implies a + b = 1 \]Zweitens beträgt die Steigung der Tangente \( -3 \), was gleich der ersten Ableitung \( y' \) von \( y = ax^3 + bx \) bei \( x = 1 \) sein muss:
\[ y' = 3ax^2 + b \]Bei \( x = 1 \):
\[ 3a(1)^2 + b = -3 \implies 3a + b = -3 \]Wir lösen das Gleichungssystem:
- \( a + b = 1 \)
- \( 3a + b = -3 \)
Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten ergibt \( 2a = -4 \implies a = -2 \). Das Einsetzen von \( a = -2 \) in \( -2 + b = 1 \) liefert \( b = 3 \).
Fazit: \( a = -2 \) und \( b = 3 \).
Aufgabe 3
Finden Sie Bedingungen für \( a \) und \( b \), so dass der Graph von \( y = a e^x + bx \) KEINE Tangente parallel zur x-Achse (horizontale Tangente) besitzt.
Lösung zu Aufgabe 3 anzeigen
Die Steigung einer Tangente wird durch die erste Ableitung \( y' \) von \( y = a e^x + bx \) gegeben:
\[ y' = a e^x + b \]Um Punkte mit einer horizontalen Tangente zu finden, setzen wir \( y' = 0 \):
\[ a e^x + b = 0 \implies e^x = -\frac{b}{a} \]Da die Exponentialfunktion \( e^x > 0 \) für alle reellen Zahlen \( x \) gilt, hat diese Gleichung keine reellen Lösungen, wenn \( -\dfrac{b}{a} \le 0 \) ist. Folglich besitzt der Graph keine horizontale Tangente, wenn \( \dfrac{b}{a} \ge 0 \) gilt (d. h., \( a \) und \( b \) haben dasselbe Vorzeichen oder \( b = 0 \)).
Übungsaufgaben & Lösungen
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Bestimmen Sie alle Punkte auf dem Graphen von \( y = x^3 - 3x \), in denen die Tangente parallel zur Geraden \( y = 9x + 4 \) verläuft.
Lösung zu Übungsaufgabe 1 anzeigen
Setze \( y' = 3x^2 - 3 = 9 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \).
Die Auswertung von \( y \) bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) liefert die Punkte \( (2, 2) \) und \( (-2, -2) \).
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Bestimmen Sie \( a \) und \( b \), so dass die Gerade \( y = -2 \) bei \( x = 1 \) tangential an den Graphen von \( y = ax^2 + bx \) anliegt.
Lösung zu Übungsaufgabe 2 anzeigen
Unter Verwendung der Bedingungen bei \( x = 1 \): \( a(1)^2 + b(1) = -2 \) und \( 2a(1) + b = 0 \).
Das Lösen des Systems ergibt \( a = 2 \) und \( b = -4 \).
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Finden Sie Bedingungen für \( a \), \( b \) und \( c \), so dass der Graph von \( y = ax^3 + bx^2 + cx \) GENAU EINE Tangente parallel zur x-Achse (horizontale Tangente) besitzt.
Lösung zu Übungsaufgabe 3 anzeigen
Die Ableitung lautet \( y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \). Für genau eine horizontale Tangente muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung Null sein:
\[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 0 \implies 4b^2 - 12ac = 0 \]