Tangentenprobleme in der Analysis lösen
Tangentenprobleme und ihre Lösungen, unter Verwendung der ersten Ableitungen, werden vorgestellt.
Problem 1
Finden Sie alle Punkte auf dem Graphen von \( y = x^3 - 3 x \), an denen die Tangente parallel zur x-Achse verläuft (oder eine horizontale Tangente vorliegt).
Lösung zu Problem 1:
Geraden, die parallel zur x-Achse sind, haben die Steigung = 0. Die Steigung einer Tangente an den Graphen von \( y = x^3 - 3 x \) wird durch die erste Ableitung \( y '\) gegeben.
\( y ' = 3 x^2 - 3 \)
Wir finden nun alle Werte von \( x \), für die \( y ' = 0\) gilt.
\( 3 x^2 - 3 = 0\)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( x \) auf, um die Lösungen zu erhalten.
\( x = - 1 \) und \( x = 1\)
Die obigen x-Werte sind die x-Koordinaten der Punkte, an denen die Tangenten parallel zur x-Achse verlaufen. Finden Sie die y-Koordinaten dieser Punkte mit \( y = x^3 - 3 x \).
für \( x = - 1 \) , \( y = 2\)
für \( x = 1 \) , \( y = - 2\)
Die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur x-Achse verlaufen, sind: \( (-1 , 2) \) und \( (1 , -2) \). Siehe den Graphen von \( y = x^3 - 3 x \) unten mit den Tangenten.
Problem 2
Finden Sie die Konstanten \( a \) und \( b \), so dass die Gerade \( y = - 3 x + 4 \) den Graphen von \( y = a x^3 + b x \) bei \( x = 1\) tangiert.
Lösung zu Problem 2:
Um \( a \) und \( b \) zu finden, müssen wir zwei algebraische Gleichungen für \( a \) und \( b \) aufstellen. Der Berührungspunkt liegt auf dem Graphen von \( y = a x^3 + b x \) und auf dem Graphen von \( y = - 3 x + 4\) bei \( x = 1 \). Daher sind die y-Koordinaten von \( y = a x^3 + b x \) und \( y = - 3 x + 4\) bei \( x = 1 \) gleich, was nach Einsetzen von \( x = 1 \) die Gleichung ergibt
\( a \; (1)^3 + b \; (1) = - 3(1) + 4 \)
Vereinfachen Sie die obige Gleichung in \( a \) und \( b \), um zu erhalten
\( a + b = 1 \)
Die Steigung der Tangente ist gleich \( -3 \), was auch der ersten Ableitung \( y '\) von \( y = a x^3 + b x \) bei \( x = 1\) entspricht
\( y ' = 3 a x^2 + x = - 3 \) bei \( x = 1 \).
Setzen Sie \( x = 1 \) in \( 3 a x^2 + x = - 3 \) ein, um eine zweite Gleichung in \( a \) und \( b \) zu erhalten
\( 3 a + b = -3 \)
Verwenden Sie eine beliebige Methode, um das oben erhaltene Gleichungssystem \( a + b = 1 \) und \( 3 a + b = - 3 \) zu lösen:
\( a = - 2 \) und \( b = 3 \).
Siehe die Graphen von \( y = a x^3 + b x \), mit \( a = - 2\) und \( b = 3 \), und \( y = - 3 x + 4 \) unten.
Problem 3
Finden Sie Bedingungen für \( a \) und \( b \), so dass der Graph von \( y = a \; e^x + b \; x \) KEINE zur x-Achse parallele Tangente (horizontale Tangente) hat.
Lösung zu Problem 3:
Die Steigung einer Tangente wird durch die erste Ableitung \( y ' \) von \( y = a \; e^x + b \; x \) gegeben. Daher
\( y ' = a \; e^x + b \)
Um die x-Koordinate eines Punktes zu finden, an dem die Tangente an den Graphen von \( y\) horizontal ist, lösen Sie \(y ' = 0 \) nach x auf (die Steigung einer horizontalen Linie ist gleich Null)
\( a e^x + b = 0 \)
Schreiben Sie die obige Gleichung wie folgt um
\( e^x = - b/a \)
Die obige Gleichung hat Lösungen für \( -a / b \gt 0 \). Folglich hat der Graph von \( y = a \; e^x + b \; x \) KEINE horizontale Tangente, wenn \( - a/b \le 0 \)
Übungen
1) Finden Sie alle Punkte auf dem Graphen von \( y = x^3 - 3 x \), an denen die Tangente parallel zu der Geraden ist, deren Gleichung durch \( y = 9 x + 4 \) gegeben ist.
2) Finden Sie \( a \) und \( b \), so dass die Gerade \( y = - 2 \) den Graphen von \( y = a x^2 + b x \) bei \( x = 1\) tangiert.
3) Finden Sie Bedingungen für \( a \), \( b \) und \( c \), so dass der Graph von \( y = a \; x^3 + b \; x^2 + c \; x \) NUR EINE zur x-Achse parallele Tangente (horizontale Tangente) hat.
Lösungen zu den obigen Übungen
1) \( (2 , 2) \) und \( (-2 , -2) \)
2) \( a = 2 \) und \( b = - 4 \)
3) \( 4 b^2 - 12 \; a \; c = 0 \)
Referenzen und Links
Analysis-Probleme