In der Analysis wird das Integral einer Funktion \( f(x) \) über ein Intervall \( [a,b] \) als Grenzwert von Riemann-Summen definiert.
Teilen wir das Intervall \( [a,b] \) in \( n \) Teilintervalle, jeweils mit der Breite \( \; \Delta x = \dfrac{b-a}{n} \). Wir können dann einen Punkt \( x_i \) in jedem Teilintervall \( [x_{i-1}, x_i] \) für \( i = 1, 2, \ldots, n \) wählen.
Die Riemann-Summe, die zu dieser Unterteilung und der Wahl der Stichprobenpunkte gehört, ist gegeben durch: \[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]
Der Grenzwert der Riemann-Summe, wenn \( n \) gegen unendlich geht, ist definiert als das bestimmte Integral von \( f(x) \) über \( [a,b] \), bezeichnet mit: \[ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to\infty} R_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]