Differentialgleichungen - Runge-Kutta-Verfahren

Über das Runge-Kutta-Verfahren

Dies ist ein interaktives Werkzeug, um das numerische Runge-Kutta-Verfahren zu erkunden. Dieses Verfahren wird verwendet, um Lösungen von Differentialgleichungen anzunähern und ist sehr leistungsfähig für die Lösung einer Vielzahl von Problemen in Wissenschaft und Technik.

Betrachten Sie die Differentialgleichung:

y' = f(x, y) mit y(x₀) = K (Anfangswert)

Wir möchten die Lösung über ein Intervall [a, b] annähern. Wir teilen dieses Intervall in n kleinere Intervalle der Größe h. Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung liefert eine Annäherung wie folgt:

Sei y₀ = K (Startwert)
yᵢ₊₁ = yᵢ + (1/6)[k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄] für i = 0, 1, ..., n-1

wobei:
k₁ = h·f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = h·f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₁/2)
k₃ = h·f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₂/2)
k₄ = h·f(xᵢ + h, yᵢ + k₃)

Der lokale Diskretisierungsfehler ist von der Ordnung O(h⁵) und nimmt im Prinzip ab, wenn h kleiner wird.

In dieser Demo verwendete Gleichungen

y' = x², y(0) = 1, exakte Lösung: y = x³/3 + 1
y' = x⁴, y(0) = 1, exakte Lösung: y = x⁵/5 + 1
y' = eˣ, y(0) = 1, exakte Lösung: y = eˣ
y' = 1/(1+x), y(0) = 1, exakte Lösung: y = ln(1+x) + 1

Anleitung

Alle Differentialgleichungen in dieser Demo haben den gleichen Anfangswert y(0) = 1 und exakte Lösungen zum Vergleich.

Wählen Sie die erste Differentialgleichung y' = x². Zu Beginn ist h = 1,25 und n = 8.
Untersuchen Sie die exakten (blaue Kurve) und angenäherten (rote Punkte) Lösungen im Diagramm.
Verringern Sie h, indem Sie n erhöhen (oder verringern Sie h direkt) und beobachten Sie, wie sich die Annäherung verbessert.
Wählen Sie die anderen Differentialgleichungen aus und analysieren Sie die Ergebnisse.
Vergleichen Sie die exakten und angenäherten Werte in der Tabelle unterhalb des Diagramms.

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In dieser Demo verwendete Gleichungen

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