Was ist das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung für Differentialgleichungen?

Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung ist ein numerisches Verfahren zur Annäherung von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form y' = f(x, y) mit dem Anfangswert y(x₀) = K unter Verwendung gewichteter Inkremente k₁, k₂, k₃ und k₄.

Differentialgleichungen – Runge-Kutta-Verfahren Rechner & Tutorial

Über das Runge-Kutta-Verfahren

Dies ist ein interaktives Werkzeug zur Erkundung des numerischen Runge-Kutta-Verfahrens. Dieses Verfahren wird verwendet, um Lösungen von Differentialgleichungen anzunähern, und ist sehr leistungsfähig zur Lösung einer Vielzahl von Problemen in Naturwissenschaft und Technik.

Betrachten Sie die Differentialgleichung:

\( y' = f(x, y) \) mit \( y(x_0) = K \) (Anfangswert)

Wir möchten die Lösung über ein Intervall \( [a, b] \) annähern. Wir unterteilen dieses Intervall in \( n \) kleinere Intervalle der Größe \( h \). Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung liefert eine Annäherung wie folgt:

Sei \( y_0 = K \) (Startwert)
\( y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}[k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4] \) für \( i = 0, 1, \dots, n-1 \)

wobei:
\( k_1 = h \cdot f(x_i, y_i) \)
\( k_2 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2}) \)
\( k_3 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2}) \)
\( k_4 = h \cdot f(x_i + h, y_i + k_3) \)

Der lokale Abschneidefehler ist von der Ordnung \( O(h^5) \) und nimmt im Prinzip ab, wenn \( h \) kleiner wird.

In diesem Demo verwendete Gleichungen

\( y' = x^2 \), \( y(0) = 1 \), exakte Lösung: \( y = \frac{x^3}{3} + 1 \)
\( y' = x^4 \), \( y(0) = 1 \), exakte Lösung: \( y = \frac{x^5}{5} + 1 \)
\( y' = e^x \), \( y(0) = 1 \), exakte Lösung: \( y = e^x \)
\( y' = \frac{1}{1+x} \), \( y(0) = 1 \), exakte Lösung: \( y = \ln(1+x) + 1 \)

Tutorial

Alle Differentialgleichungen in dieser Demo haben denselben Anfangswert \( y(0) = 1 \) und exakte Lösungen zum Vergleich.

Wählen Sie die erste Differentialgleichung \( y' = x^2 \). Zu Beginn sind \( h = 1{,}25 \) und \( n = 8 \).
Untersuchen Sie die exakte (blaue Kurve) und die angenäherte (rote Punkte) Lösung im Graphen.
Verringern Sie \( h \) durch Erhöhen von \( n \) (oder verringern Sie \( h \) direkt) und beobachten Sie, wie sich die Annäherung verbessert.
Wählen Sie die anderen Differentialgleichungen aus und analysieren Sie die Ergebnisse.
Vergleichen Sie die exakten und angenäherten Werte in der Tabelle unterhalb des Graphen.

Runge-Kutta-Rechner

Differentialgleichung:

Schrittweite (h):

Anzahl der Schritte (n):

Ergebnisse

Vergleich zwischen exakter Lösung und Runge-Kutta-Annäherung:

Schritt (i)	xᵢ	Angenähertes yᵢ	Exaktes y(xᵢ)	Fehler	k₁	k₂	k₃	k₄

Weitere Ressourcen und Links

Weitere Referenzen zu Differentialgleichungen: