Diese Seite zeigt, wie man mit Differentiation die Identität beweist: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] für alle Werte von \( x \) im Definitionsbereich \([-1, 1]\).
Definiere die Funktion: \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] Wir werden zeigen, dass \( f(x) \) konstant ist, indem wir ihre Ableitung berechnen.
Die Ableitung von \( f(x) \) ist: \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \] Da \( f'(x) = 0 \) für alle \( x \in (-1, 1) \) gilt, ist die Funktion \( f(x) \) konstant.
Um den Wert dieser Konstanten zu bestimmen, werten wir \( f(x) \) an einem bestimmten Punkt aus. Nehmen wir \( x = 0 \): \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \] Daher gilt: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] für alle \( x \in [-1, 1] \).
Weitere Beispiele und Anwendungen von Ableitungen finden Sie auf unserer Seite Anwendungen der Differentiation.