Was ist die Konkavität quadratischer Funktionen?

Dieses Tutorial erklärt, wie man die Konkavität von quadratischen Funktionen bestimmt.

Konkavität quadratischer Funktionen

Die Konkavität einer Funktion wird durch das Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung bestimmt. Für eine quadratische Funktion der Form

\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]

Die erste und zweite Ableitung sind

\[ f'(x) = 2 a x + b \] \[ f''(x) = 2 a \]

Da \( f''(x) \) konstant ist und nur von \( a \) abhängt, hängt die Konkavität der Parabel vom Vorzeichen von \( a \) ab:

Nachfolgend finden Sie Beispiele, die diese Fälle mit detaillierten Lösungen veranschaulichen.

Beispiel 1

Bestimmen Sie die Konkavität der quadratischen Funktion:

\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]

Lösung zu Beispiel 1

Erweitern und schreiben Sie \( f(x) \) um:

\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]

Der Leitkoeffizient \( a = -1 \) ist negativ, daher ist der Graph konkav nach unten. Siehe Abbildung unten.

Graph der quadratischen Funktion Beispiel 1

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Konkavität der quadratischen Funktion:

\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]

Lösung zu Beispiel 2

Erweitern Sie \( f(x) \):

\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]

Der Leitkoeffizient \( a = 1 \) ist positiv, daher ist der Graph konkav nach oben. Siehe Abbildung unten.

Graph der quadratischen Funktion Beispiel 2

Übungen mit Antworten

Bestimmen Sie die Konkavität jeder der folgenden quadratischen Funktionen:

  1. \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
  2. \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
  3. \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)

Lösungen zu den Übungen

  1. Konkav nach oben
  2. Konkav nach unten
  3. Konkav nach unten

Probieren Sie ein weiteres interaktives Tutorial zur Konkavität quadratischer Funktionen auf dieser Seite aus.

Mehr zur Konkavität und Differentiation