Tutorial, das erklärt, wie man kritische Zahlen verschiedener Funktionstypen identifiziert.
Eine Zahl \( a \) im Definitionsbereich einer Funktion \( f \) wird als kritische Zahl von \( f \) bezeichnet, wenn entweder \[ f'(a) = 0 \quad \text{oder} \quad f' \text{ ist undefiniert an der Stelle } x = a. \]
Finden Sie die kritische(n) Zahl(en) der Polynomfunktion \[ f(x) = x^{3} - 3x + 5. \]
Der Definitionsbereich von \( f \) sind alle reellen Zahlen. Ihre Ableitung ist \[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \] Da \( f' \) überall definiert ist, lösen wir \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \] Sowohl \( x = 1 \) als auch \( x = -1 \) liegen im Definitionsbereich und sind daher kritische Zahlen.
Finden Sie die kritische(n) Zahl(en) der Betragsfunktion \[ f(x) = |x - 2|. \]
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen. Da \[ |u| = \sqrt{u^{2}} \quad \text{wobei } u = x - 2, \] schreiben wir \( f \) um als \[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \] Mit der Kettenregel ist die Ableitung \[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \] Beachten Sie, dass \( f' \) an der Stelle \( x = 2 \) undefiniert ist. Da \( 2 \) im Definitionsbereich liegt, ist es eine kritische Zahl.
Finden Sie die kritischen Zahlen einer Funktion \( f \), deren Ableitung \( f' \) unten grafisch dargestellt ist.
Die kritischen Zahlen sind \( x = 1, -2, -3 \), wo \( f'(x) = 0 \), und \( x = 0 \), wo \( f' \) undefiniert ist.
Finden Sie die kritischen Zahlen der rationalen Funktion \[ f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3}. \]
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer \( x = -3 \). Mit der Quotientenregel ist die Ableitung \[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \] Setzen wir den Zähler gleich Null, \[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0, \] also \( x = -7 \) oder \( x = 1 \). Da \( f' \) an der Stelle \( x = -3 \) undefiniert ist, aber \( -3 \notin \) Definitionsbereich, ist dies keine kritische Zahl. Daher sind die kritischen Zahlen \( x = -7 \) und \( x = 1 \).
Finden Sie die kritische(n) Zahl(en) der Funktion \[ f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3. \]
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen. Ihre Ableitung ist \[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \] Die Ableitung ist an der Stelle \( x = 2 \) undefiniert, welche im Definitionsbereich liegt. Somit ist \( x = 2 \) eine kritische Zahl.
Finden Sie die kritischen Zahlen der folgenden Funktionen:
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