Die Differentiation wird verwendet, um Schlüsseleigenschaften quadratischer Funktionen zu analysieren, wie etwa Intervalle, in denen sie steigen oder fallen, lokale Maxima und lokale Minima.
A - Quadratische Funktion in allgemeiner Form
Quadratische Funktionen in ihrer allgemeinen Form werden geschrieben als:
wobei \(a\), \(b\) und \(c\) reelle Zahlen mit \(a \neq 0\) sind.
Die erste Ableitung von \(f\) lautet:
\[ f'(x) = 2 a x + b \]Um die Maximum- oder Minimumspunkte sowie die Intervalle des Steigens und Fallens zu bestimmen, analysieren wir das Vorzeichen von \(f'(x)\). Die Ableitung ist positiv, wenn:
\[ 2 a x + b > 0 \quad \Rightarrow \quad 2 a x > -b \]Wir betrachten zwei Fälle basierend auf dem Vorzeichen von \(a\):
Fall 1: \(a > 0\)
Wenn wir beide Seiten der Ungleichung durch \(2a > 0\) teilen, erhalten wir:
\[ x > -\dfrac{b}{2a} \]Die folgende Tabelle fasst das Vorzeichen von \(f'(x)\) und das Steigungsverhalten von \(f\) zusammen:
Somit hat die quadratische Funktion ein Minimum bei \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), fällt auf \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) und steigt auf \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).
Fall 2: \(a < 0\)
Das Teilen beider Seiten durch \(2a < 0\) kehrt das Ungleichheitszeichen um:
\[ x < -\dfrac{b}{2a} \]Das Vorzeichen von \(f'(x)\) wird anhand der folgenden Tabelle analysiert:
In diesem Fall hat die quadratische Funktion ein Maximum bei \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), steigt auf \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) und fällt auf \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).
B - Quadratische Funktion in Scheitelpunktform
Quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform werden geschrieben als:
wobei \(a \neq 0\) und \(h, k\) reelle Zahlen sind.
Die Ableitung lautet:
\[ f'(x) = 2 a (x - h) \]Wir analysieren das Vorzeichen von \(f'(x)\), indem wir betrachten:
\[ a (x - h) > 0 \]Fall 1: \(a > 0\)
Teilen beider Seiten durch \(a > 0\):
\[ x > h \]Verwenden Sie die folgende Tabelle zur Vorzeichenanalyse:
Daher hat die Parabel ein Minimum bei \((h, k)\), fällt auf \((-\infty, h)\) und steigt auf \((h, +\infty)\).
Fall 2: \(a < 0\)
Teilen beider Seiten durch \(a < 0\) kehrt das Ungleichheitszeichen um:
\[ x < h \]Das Vorzeichen von \(f'(x)\) wird analysiert mit:
Hier hat die Parabel ein Maximum bei \((h, k)\), steigt auf \((-\infty, h)\) und fällt auf \((h, +\infty)\).
Durchgeführte Beispiele
Beispiel 1: Finde das Extremum von \( f(x) = 2x^2 - 8x + 1 \)
Finden Sie zunächst die Ableitung:
\[ f'(x) = 4x - 8 \]Die Ableitung wechselt das Vorzeichen bei \(x = \dfrac{8}{4} = 2\). Da \(a = 2 > 0\) ist, hat \(f\) ein Minimum bei \((2, f(2)) = (2, -7)\).
Funktionsverhalten:
- Fallend auf \((-\infty, 2)\)
- Steigend auf \((2, +\infty)\)
Beispiel 2: Finde das Extremum von \( f(x) = - (x + 3)^2 + 1 \)
Die Ableitung lautet:
\[ f'(x) = -2(x + 3) \]Die Ableitung wechselt das Vorzeichen bei \(x = -3\). Da \(a = -1 < 0\) ist, hat \(f\) ein Maximum bei \((-3, 1)\).
Funktionsverhalten:
- Steigend auf \((-\infty, -3)\)
- Fallend auf \((-3, +\infty)\)
Übungen zu den Eigenschaften quadratischer Funktionen
Finden Sie für jede der folgenden quadratischen Funktionen das Extremum (Minimum oder Maximum), das Intervall, in dem sie steigt, und das Intervall, in dem sie fällt:
- \( f(x) = x^2 + 6x \)
- \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
- \( f(x) = x^2 - 5 \)
- \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
- \( f(x) = -x^2 \)
Antworten zu den Übungen
- a) Minimum bei \((-3, -9)\). Fallend auf \((-\infty, -3)\), steigend auf \((-3, +\infty)\).
- b) Maximum bei \((-1, 4)\). Steigend auf \((-\infty, -1)\), fallend auf \((-1, +\infty)\).
- c) Minimum bei \((0, -5)\). Fallend auf \((-\infty, 0)\), steigend auf \((0, +\infty)\).
- d) Maximum bei \((4, 2)\). Steigend auf \((-\infty, 4)\), fallend auf \((4, +\infty)\).
- e) Maximum bei \((0, 0)\). Steigend auf \((-\infty, 0)\), fallend auf \((0, +\infty)\).