Ableitung, Maximum und Minimum quadratischer Funktionen

Die Differentiation wird verwendet, um wichtige Eigenschaften quadratischer Funktionen zu analysieren, wie Intervalle der Zunahme und Abnahme, lokale Maxima und lokale Minima.

A - Quadratische Funktion in Allgemeiner Form

Quadratische Funktionen in ihrer allgemeinen Form werden geschrieben als:

wobei \(a\), \(b\) und \(c\) reelle Zahlen sind mit \(a \neq 0\).

Die erste Ableitung von \(f\) ist:

Um die Maximal- oder Minimalpunkte und Intervalle der Zunahme oder Abnahme zu bestimmen, analysieren Sie das Vorzeichen von \(f'(x)\). Die Ableitung ist positiv, wenn:

Wir betrachten zwei Fälle basierend auf dem Vorzeichen von \(a\):

Fall 1: \(a > 0\)

Teilt man beide Seiten der Ungleichung durch \(2a > 0\), erhält man:

Die folgende Tabelle fasst das Vorzeichen von \(f'(x)\) zusammen und ob \(f\) steigt oder fällt:

Somit hat die quadratische Funktion ein Minimum bei \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), fällt auf \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) und steigt auf \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).

Fall 2: \(a < 0\)

Teilt man beide Seiten durch \(2a < 0\), kehrt sich die Ungleichung um:

Das Vorzeichen von \(f'(x)\) wird mit der folgenden Tabelle analysiert:

In diesem Fall hat die quadratische Funktion ein Maximum bei \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), steigt auf \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) und fällt auf \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).

B - Quadratische Funktion in Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform werden geschrieben als:

wobei \(a \neq 0\), und \(h, k\) reelle Zahlen sind.

Die Ableitung ist:

Wir analysieren das Vorzeichen von \(f'(x)\), indem wir betrachten:

Fall 1: \(a > 0\)

Teilt man beide Seiten durch \(a > 0\):

Verwenden Sie die folgende Tabelle, um das Vorzeichen zu analysieren:

Daher hat die quadratische Funktion ein Minimum bei \((h, k)\), fällt auf \((-\infty, h)\) und steigt auf \((h, +\infty)\).

Fall 2: \(a < 0\)

Teilt man beide Seiten durch \(a < 0\), kehrt sich die Ungleichung um:

Das Vorzeichen von \(f'(x)\) wird analysiert mit:

Hier hat die quadratische Funktion ein Maximum bei \((h, k)\), steigt auf \((-\infty, h)\) und fällt auf \((h, +\infty)\).

Beispiel 1

Finden Sie das Extremum (Minimum oder Maximum) der quadratischen Funktion:

Lösung zu Beispiel 1

• Finden Sie zuerst die Ableitung: \[ f'(x) = 4x - 8 \] Die Ableitung wechselt das Vorzeichen bei \(x = \dfrac{8}{4} = 2\). Da \(a=2 > 0\), hat \(f\) ein Minimum bei \((2, f(2)) = (2, -7)\).
• Funktionsverhalten:
  • Fallend auf \((-\infty, 2)\)
  • Steigend auf \((2, +\infty)\)
• Siehe das Diagramm unten, das dieses Ergebnis bestätigt:

Beispiel 2

Finden Sie das Extremum der quadratischen Funktion:

Lösung zu Beispiel 2

• Die Ableitung ist: \[ f'(x) = -2(x + 3) \] Die Ableitung wechselt das Vorzeichen bei \(x = -3\). Da \(a = -1 < 0\), hat \(f\) ein Maximum bei \((-3, 1)\).
• Funktionsverhalten:
  • Steigend auf \((-\infty, -3)\)
  • Fallend auf \((-3, +\infty)\)
• Siehe das Diagramm unten:

Übungen zu Eigenschaften quadratischer Funktionen

Finden Sie für jede der folgenden quadratischen Funktionen das Extremum (Minimum oder Maximum), das Intervall der Zunahme und das Intervall der Abnahme:

1. \( f(x) = x^2 + 6x \)
2. \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
3. \( f(x) = x^2 - 5 \)
4. \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
5. \( f(x) = -x^2 \)

Antworten zu den Übungen

• a) Minimum bei \((-3, -9)\). Fallend auf \((-\infty, -3)\), steigend auf \((-3, +\infty)\).
• b) Maximum bei \((-1, 4)\). Steigend auf \((-\infty, -1)\), fallend auf \((-1, +\infty)\).
• c) Minimum bei \((0, -5)\). Fallend auf \((-\infty, 0)\), steigend auf \((0, +\infty)\).
• d) Maximum bei \((4, 2)\). Steigend auf \((-\infty, 4)\), fallend auf \((4, +\infty)\).
• e) Maximum bei \((0, 0)\). Steigend auf \((-\infty, 0)\), fallend auf \((0, +\infty)\).

Mehr zu Anwendungen der Differentiation

Siehe mehr über Anwendungen der Differentiation.