Die Definition des Krümmungsverhaltens eines Graphen wird zusammen mit Wendepunkten eingeführt. Anhand von Beispielen mit detaillierten Lösungen wird das Konzept der Krümmung mithilfe der ersten und zweiten Ableitung verdeutlicht.
Visuelle Beispiele zur Krümmung
Beispiel 1: Linksgekrümmt (Konkav nach oben)
Beachten Sie, dass die Steigung der Tangente (erste Ableitung) zunimmt. Der Graph in der folgenden Abbildung wird als linksgekrümmt bezeichnet.
Abbildung 1
Beispiel 2: Rechtsgekrümmt (Konkav nach unten)
Die Steigung der Tangente (erste Ableitung) nimmt im folgenden Graphen ab. Wir nennen den Graphen unten rechtsgekrümmt.
Abbildung 2
Definition des Krümmungsverhaltens
Sei \( f' \) die erste Ableitung einer Funktion \( f \), die auf einem gegebenen Intervall \( I \) differenzierbar ist. Der Graph von \( f \) ist:
- (i) linksgekrümmt auf dem Intervall \( I \), wenn \( f' \) auf \( I \) monoton wachsend (zunehmend) ist, oder
- (ii) rechtsgekrümmt auf dem Intervall \( I \), wenn \( f' \) auf \( I \) monoton fallend (abnehmend) ist.
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, wann \( f' \) zunimmt oder abnimmt.
Satz
Sei \( f'' \) die zweite Ableitung der Funktion \( f \) auf einem gegebenen Intervall \( I \). Der Graph von \( f \) ist:
- (i) linksgekrümmt auf \( I \), wenn \( f''(x) > 0 \) auf dem Intervall \( I \) gilt.
- (ii) rechtsgekrümmt auf \( I \), wenn \( f''(x) < 0 \) auf dem Intervall \( I \) gilt.
Definition des Wendepunkts
Ein Punkt \( P \) auf dem Graph von \( y = f(x) \) ist ein Wendepunkt, wenn \( f \) in \( P \) stetig ist und sich die Krümmung des Graphen in \( P \) ändert. In Anbetracht des obigen Satzes liegt genau dann ein Wendepunkt vor, wenn die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.
Durchgearbeitete Beispiele
Beispiel 3: Quadratische Funktionen
Aufgabe: Bestimmen Sie die Werte des Koeffizienten \( a \), für die der Graph der Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) links- oder rechtsgekrümmt ist.
Lösung:
Wir finden zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion \( f \):
\[ f'(x) = 2ax + b \] \[ f''(x) = 2a \]Wir untersuchen nun das Vorzeichen von \( f''(x) \), welches gleich \( 2a \) ist:
- Wenn \( a \) positiv ist, ist \( f''(x) \) auf dem Intervall \((-\infty, +\infty)\) positiv. Nach dem obigen Satz ist der Graph von \( f \) für positive Werte von \( a \) linksgekrümmt.
- Wenn \( a \) negativ ist, ist der Graph von \( f \) auf dem Intervall \((-\infty, +\infty)\) rechtsgekrümmt, da \( f''(x) = 2a \) negativ ist.
Die Graphen von zwei quadratischen Funktionen sind unten dargestellt: \( y = 2x^2 - 2x - 1 \) (linksgekrümmt, da \( a = 2 > 0 \)) und \( y = -x^2 + 3x + 1 \) (rechtsgekrümmt, da \( a = -1 < 0 \)).
Beispiel 4: Krümmung und Wendepunkte einer ganzrationalen Funktion
Aufgabe:
a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph von \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist, sowie eventuelle Wendepunkte.
b) Verwenden Sie einen Graphenrechner, um den Graphen von \( f \) zu zeichnen und Ihre Antworten aus Teil a) zu bestätigen.
Lösung:
Bestimmen wir die ersten beiden Ableitungen der Funktion \( f \):
\[ f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \] \[ f''(x) = 12x^2 - 12x \]Finden Sie die Nullstellen von \( f''(x) \):
\[ 12x^2 - 12x = 0 \] \[ 12x(x - 1) = 0 \]Zwei Nullstellen: \( x = 0 \) und \( x = 1 \).
Vorzeichenuntersuchung von \( f'' \):
Die beiden Nullstellen unterteilen die Menge der reellen Zahlen in drei Intervalle. Wählen Sie einen Wert für \( x \) in jedem Intervall:
Unter Verwendung der Vorzeichentabelle und des obigen Satzes:
- Auf dem Intervall \((-\infty, 0)\) ist \( f'' \) positiv \(\implies\) der Graph von \( f \) ist linksgekrümmt.
- Auf dem Intervall \((0, 1)\) ist \( f'' \) negativ \(\implies\) der Graph von \( f \) ist rechtsgekrümmt.
- Auf dem Intervall \((1, +\infty)\) ist \( f'' \) positiv \(\implies\) der Graph von \( f \) ist linksgekrümmt.
Die zweite Ableitung \( f'' \) wechselt ihr Vorzeichen bei \( x = 0 \) und \( x = 1 \), daher hat der Graph von \( f \) zwei Wendepunkte: \( (0, f(0)) \) und \( (1, f(1)) \).
b) Grafische Bestätigung:
Der Graph von \( f \) (blau) und \( f'' \) (rot) sind unten dargestellt. Immer wenn \( f'' \) negativ ist, ist \( f \) rechtsgekrümmt; immer wenn \( f'' \) positiv ist, ist \( f \) linksgekrümmt.
Beispiel 5: Analyse anhand des Graphen der zweiten Ableitung
Aufgabe: Der Graph der zweiten Ableitung \( f'' \) einer Funktion \( f \) ist unten dargestellt. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen \( f \) links- oder rechtsgekrümmt ist, sowie eventuelle Wendepunkte.
Lösung:
- Auf dem Intervall \((-\infty, 2)\) liegt der Graph von \( f'' \) unterhalb der x-Achse (\( f'' < 0 \)), folglich ist \( f \) rechtsgekrümmt.
- Auf dem Intervall \((2, +\infty)\) liegt der Graph von \( f'' \) oberhalb der x-Achse (\( f'' > 0 \)), folglich ist \( f \) linksgekrümmt.
- Bei \( x = 2 \) wechselt das Vorzeichen von \( f'' \), weshalb \( x = 2 \) ein Wendepunkt ist.
Beispiel 6: Analyse anhand des Graphen der ersten Ableitung
Aufgabe: Der Graph der ersten Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) ist unten dargestellt. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph von \( f \) links- oder rechtsgekrümmt ist, sowie eventuelle Wendepunkte.
Lösung:
Wir verwenden den Graphen der ersten Ableitung \( f' \), um das Vorzeichen der zweiten Ableitung (\( f'' = (f')' \)) zu bestimmen und daraus das Krümmungsverhalten abzuleiten:
- Auf dem Intervall \((-\infty, -2)\) fällt \( f' \) ab (\( f'' < 0 \)) \(\implies\) der Graph von \( f \) ist rechtsgekrümmt.
- Auf dem Intervall \((-2, -1)\) steigt \( f' \) an (\( f'' > 0 \)) \(\implies\) der Graph von \( f \) ist linksgekrümmt.
- Auf dem Intervall \((-1, 1)\) fällt \( f' \) ab (\( f'' < 0 \)) \(\implies\) der Graph von \( f \) ist rechtsgekrümmt.
- Auf dem Intervall \((1, +\infty)\) steigt \( f' \) an (\( f'' > 0 \)) \(\implies\) der Graph von \( f \) ist linksgekrümmt.
Die Krümmung des Graphen von \( f \) ändert sich bei \( x = -2 \), \( x = -1 \) und \( x = 1 \); daher sind dies alles Wendepunkte.