Konkavität und Wendepunkte von Graphen
Die Definition der Konkavität eines Graphen wird zusammen mit Wendepunkten eingeführt. Beispiele mit detaillierten Lösungen werden verwendet, um das Konzept der Konkavität zu verdeutlichen.
Beispiel 1: Konkav nach oben
Betrachten wir den Graphen unten. Beachten Sie, dass die Steigung der Tangente (erste Ableitung) zunimmt. Der Graph in der folgenden Abbildung wird konkav nach oben genannt.
Abbildung 1
Beispiel 2: Konkav nach unten
Die Steigung der Tangente (erste Ableitung) nimmt im folgenden Graphen ab. Wir nennen diesen Graphen konkav nach unten.
Abbildung 2
Definition der Konkavität
Sei \( f' \) die erste Ableitung der Funktion \( f \), die auf einem gegebenen Intervall \( I \) differenzierbar ist. Der Graph von \( f \) ist
(i) konkav nach oben auf dem Intervall \( I \), wenn \( f' \) auf \( I \) zunimmt,
oder
(ii) konkav nach unten auf dem Intervall \( I \), wenn \( f' \) auf \( I \) abnimmt.
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt uns Auskunft darüber, wann \( f' \) zu- oder abnimmt.
Satz
Sei \( f'' \) die zweite Ableitung der Funktion \( f \) auf einem gegebenen Intervall \( I \). Der Graph von \( f \) ist
(i) konkav nach oben auf \( I \), wenn \( f''(x) > 0 \) auf dem Intervall \( I \) gilt.
(ii) konkav nach unten auf \( I \), wenn \( f''(x) < 0 \) auf dem Intervall \( I \) gilt.
Definition des Wendepunkts
Ein Punkt \( P \) auf dem Graphen von \( y = f(x) \) ist ein Wendepunkt, wenn \( f \) an der Stelle \( P \) stetig ist und sich die Konkavität des Graphen an \( P \) ändert. In Anbetracht des obigen Satzes gibt es einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt.
Beispiel 3
Bestimmen Sie die Werte des führenden Koeffizienten \( a \), für die der Graph der Funktion \( f(x) = a x^2 + b x + c \) konkav nach oben oder unten ist.
Lösung zu Beispiel 3
Wir bestimmen zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion \( f \).
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f''(x) = 2a \)
Wir untersuchen nun das Vorzeichen von \( f''(x) \), das gleich \( 2a \) ist. Wenn \( a \) positiv ist, ist \( f''(x) \) im Intervall \((- \infty , + \infty)\) positiv. Nach dem obigen Satz ist der Graph von \( f \) für positive Werte von \( a \) konkav nach oben.
Wenn \( a \) negativ ist, ist der Graph von \( f \) im Intervall \((- \infty , + \infty)\) konkav nach unten, da \( f''(x) = 2a \) negativ ist.
Die Graphen zweier quadratischer Funktionen sind unten dargestellt: \( y = 2x^2 - 2x - 1 \), deren Graph konkav nach oben ist, weil ihr führender Koeffizient (\( a = 2 \)) positiv ist, und \( y = -x^2 + 3x + 1 \), deren Graph konkav nach unten ist, weil ihr führender Koeffizient (\( a = -1 \)) negativ ist.
Beispiel 4
a) Finden Sie die Intervalle, in denen der Graph von \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) konkav nach oben bzw. konkav nach unten ist, sowie die Wendepunkte, falls vorhanden.
b) Verwenden Sie einen Graphing Calculator, um \( f \) zu zeichnen und Ihre Antworten zu Teil a) zu bestätigen.
Lösung zu Beispiel 4
Bestimmen wir die ersten beiden Ableitungen der Funktion \( f \).
a)
\( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \)
\( f''(x) = 12x^2 - 12x \)
Finden Sie die Nullstellen von \( f''(x) \).
\( 12x^2 - 12x = 0 \)
\( 12x(x - 1) = 0 \)
Zwei Nullstellen
\( x = 0 \) und \( x = 1 \)
Untersuchung des Vorzeichens von \( f'' \)
Die beiden Nullstellen teilen die Menge der reellen Zahlen in drei Intervalle. Wählen Sie einen Wert für \( x \) in jedem der drei Intervalle und bestimmen Sie das Vorzeichen von \( f'' \).
Wir verwenden nun die Vorzeichentabelle und den obigen Satz, um zu folgern, dass
im Intervall \((-\infty , 0)\); \( f'' \) positiv ist und daher der Graph von \( f \) konkav nach oben ist
im Intervall \( (0 , 1) \); \( f'' \) negativ ist und daher der Graph von \( f \) konkav nach unten ist
im Intervall \( (1 , +\infty) \); \( f'' \) positiv ist und daher der Graph von \( f \) konkav nach oben ist
Die zweite Ableitung \( f'' \) wechselt das Vorzeichen an den Stellen \( x = 0 \) und \( x = 1 \), daher hat der Graph von \( f \) zwei Wendepunkte: \( (0 , f(0)) \) und \( (1 , f(1)) \).
b)
Der Graph von \( f \) (blau) und \( f'' \) (rot) sind unten dargestellt. Man kann leicht erkennen, dass der Graph von \( f \) konkav nach unten ist, wenn \( f'' \) negativ ist (sein Graph unterhalb der x-Achse liegt), und konkav nach oben, wenn \( f'' \) positiv ist (sein Graph oberhalb der x-Achse liegt).
Punkt \( (0,0) \) ist ein Wendepunkt, an dem sich die Konkavität mit zunehmendem \( x \) (von links nach rechts) von oben nach unten ändert, und Punkt \( (1,0) \) ist ebenfalls ein Wendepunkt, an dem sich die Konkavität mit zunehmendem \( x \) (von links nach rechts) von unten nach oben ändert.
Beispiel 5
Der Graph der zweiten Ableitung \( f'' \) der Funktion \( f \) ist unten dargestellt. Finden Sie die Intervalle, in denen \( f \) konkav nach oben bzw. konkav nach unten ist, sowie die Wendepunkte, falls vorhanden.
Lösung zu Beispiel 5
Entsprechend dem Graphen von \( f'' \) wird das Vorzeichen von \( f'' \) über die folgenden Intervalle angegeben.
a)
Auf dem Intervall \((-\infty , 2)\) liegt der Graph von \( f'' \) unterhalb der x-Achse, daher ist \( f'' \) negativ, folglich ist \( f \) auf dem Intervall \((-\infty , 2)\) konkav nach unten.
Auf dem Intervall \( (2 , +\infty) \) liegt der Graph von \( f'' \) oberhalb der x-Achse, daher ist \( f'' \) positiv, folglich ist \( f \) auf dem Intervall \( (2 , +\infty) \) konkav nach oben.
An der Stelle \( x = 2 \) wechselt das Vorzeichen von \( f'' \), daher ist \( x = 2 \) ein Wendepunkt.
Beispiel 6
Der Graph der ersten Ableitung \( f' \) der Funktion \( f \) ist unten dargestellt. Finden Sie die Intervalle, in denen der Graph von \( f \) konkav nach oben bzw. konkav nach unten ist, sowie die Wendepunkte, falls vorhanden.
Lösung zu Beispiel 6
Wir verwenden den Graphen der ersten Ableitung \( f' \), um das Vorzeichen der zweiten Ableitung zu bestimmen und daraus auf die Konkavität des Graphen von \( f \) zu schließen.
a)
Auf dem Intervall \((-\infty , -2)\) nimmt \( f' \) ab, daher ist \( f'' \) negativ; der Graph von \( f \) ist konkav nach unten.
Auf dem Intervall \( (-2 , -1) \) nimmt \( f' \) zu, daher ist \( f'' \) positiv; der Graph von \( f \) ist konkav nach oben.
Auf dem Intervall \( (-1 , 1) \) nimmt \( f' \) ab, daher ist \( f'' \) negativ; der Graph von \( f \) ist konkav nach unten.
Auf dem Intervall \( (1 , +\infty) \) nimmt \( f' \) zu, daher ist \( f'' \) positiv; der Graph von \( f \) ist konkav nach oben.
Die Konkavität des Graphen von \( f \) ändert sich an den Stellen \( x = -2 \), \( x = -1 \) und \( x = 1 \), daher sind dies alles Wendepunkte.
Weitere Referenzen und Links
Ableitung
Analysis Tutorials und Übungen