Ableitung von tan(x) mit Beispielen und Kettenregel

Hier lernen wir Schritt für Schritt, wie man die Ableitung von tan(x) findet. Unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \), zusammen mit den bekannten Ableitungen von \( \sin x \) und \( \cos x \), wenden wir die Quotientenregel an, um die Formel \( \dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \) herzuleiten. Wir erweitern dieses Ergebnis auch auf zusammengesetzte Funktionen der Form \( \tan(u(x)) \) mithilfe der Kettenregel und arbeiten mehrere Beispiele durch, um das Verständnis zu vertiefen.

Berechnung der Ableitung von tan x

Eine trigonometrische Identität, die \( \tan x \), \( \sin x \) und \( \cos x \) miteinander in Beziehung setzt, ist gegeben durch \[ \tan x = \dfrac { \sin x }{ \cos x } \] Eine Möglichkeit, die Ableitung von \( \tan x \) zu finden, ist die Anwendung der Quotientenregel der Differentiation; daher \[ {\dfrac {d}{dx} \tan x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{\sin x }{\cos x}) = \dfrac{{ (\dfrac {d}{dx}\sin x) }{ \cos x } - \sin x (\dfrac {d}{dx} \cos x) }{\cos^2 x}} \] Verwenden Sie die Formeln für die Ableitung der trigonometrischen Funktionen \( \sin x \) und \( \cos x \), gegeben durch \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) und \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \), und setzen Sie ein, um zu erhalten \[ {\dfrac {d}{dx} \tan x = (\dfrac{{ \cos x \cos x } - \sin x (-\sin x) }{\cos^2 x}} \] Vereinfachen \[ = \dfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x } {\cos^2 x} = \dfrac{ 1 }{\cos^2 x} = \sec^2 x \]
Schlussfolgerung
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = \sec^2 x} \]

Graph von tan x und seiner Ableitung

Die Graphen von \( \tan(x) \) und seiner Ableitung sind unten dargestellt.

Ableitung der zusammengesetzten Funktion tan (u(x))

Wir haben nun eine zusammengesetzte Funktion, die eine Funktion (tan) einer anderen Funktion (u) ist. Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation, um zu schreiben

\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \tan (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \tan u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Vereinfachen

\( = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u \)

Schlussfolgerung

\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \tan (u(x)) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u \]

Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung der zusammengesetzten tan-Funktionen

1. \( f(x) = \tan (2x -1) \)
2. \( g(x) = \tan (\cos(x)) \)
3. \( h(x) = \tan (\dfrac{x-1}{x+2}) \)

Lösung zu Beispiel 1

1. 
   Sei \( u(x) = 2x - 1 \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (2x - 1) = 2 \) und wenden Sie die Regel an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (2x-1) \times 2 = 2 \sec^2 (2x-1) \)
   
   
2. 
   Sei \( u(x) = \cos x \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \cos x = - \sin x \) und wenden Sie die Regel an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (\cos x) \times (- \sin x) = - \sin x \sec^2 (\cos x) \)
   
   
3. 
   Sei \( u(x) = \dfrac{x-1}{x+2} \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{3}{(x+2)^2} \) und wenden Sie die oben erhaltene Regel an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (\dfrac{x-1}{x+2}) \times \dfrac{3}{(x+2)^2} = \dfrac {3 \sec^2 (\dfrac{x-1}{x+2})}{(x+2)^2} \)
   
   

Weitere Referenzen und Links