Hier lernen wir Schritt für Schritt, wie man die Ableitung von tan(x) findet. Unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) sowie der bekannten Ableitungen von \( \sin x \) und \( \cos x \) wenden wir die Quotientenregel an, um die Formel \( \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \) herzuleiten. Wir erweitern dieses Ergebnis mithilfe der Kettenregel auch auf zusammengesetzte Funktionen der Form \( \tan(u(x)) \) und arbeiten zur Vertiefung des Verständnisses mehrere Beispiele durch.
Berechnung der Ableitung von tan(x)
Eine trigonometrische Identität, die \( \tan x \), \( \sin x \) und \( \cos x \) verknüpft, lautet:
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]Eine Möglichkeit, die Ableitung von \( \tan x \) zu finden, besteht darin, die Quotientenregel der Differentiation zu verwenden; folglich:
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)\cos x - \sin x \left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \]Unter Verwendung der Formeln für die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen \( \sin x \) und \( \cos x \), welche \( \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \) und \( \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \) lauten, substituieren wir und erhalten:
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \]Vereinfachen:
\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]Graph von tan(x) und seiner Ableitung
Die Graphen von \( \tan(x) \) und ihrer Ableitung sind unten dargestellt:
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Ableitung der zusammengesetzten Funktion tan(u(x))
Wir haben nun eine zusammengesetzte Funktion, bei der es sich um eine Funktion (Tangens) einer anderen Funktion (\( u \)) handelt. Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation:
\[ \frac{d}{dx} \tan(u(x)) = \left(\frac{d}{du} \tan u\right) \left(\frac{d}{dx} u\right) \]Vereinfachen:
\[ = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} \]Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1: Bestimmen Sie die Ableitung von zusammengesetzten Tangensfunktionen
Bestimmen Sie die Ableitung von:
- \( f(x) = \tan(2x - 1) \)
- \( g(x) = \tan(\cos x) \)
- \( h(x) = \tan\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \)
Lösung:
- Sei \( u(x) = 2x - 1 \), daher ist \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \). Anwendung der Regel: \[ \frac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(2x - 1) \cdot 2 = 2\sec^2(2x - 1) \]
- Sei \( u(x) = \cos x \), daher ist \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \). Anwendung der Regel: \[ \frac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \sec^2(\cos x) \]
- Sei \( u(x) = \frac{x-1}{x+2} \), daher ist \( \frac{du}{dx} = \frac{3}{(x+2)^2} \) (unter Verwendung der Quotientenregel). Anwendung der Regel: \[ \frac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \cdot \frac{3}{(x+2)^2} = \frac{3\sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right)}{(x+2)^2} \]