Wir verwenden die Definition der Ableitung, um die Formel für die Ableitung von \( \cos(x) \) zu beweisen. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion \( \cos(u(x)) \) wird ebenfalls mithilfe der Kettenregel vorgestellt, komplett mit durchgerechneten Beispielen.
Beweis mithilfe der Definition der Ableitung
Die Definition der Ableitung einer Funktion \( f \) lautet:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]Sei \( f(x) = \cos x \). Dann:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \]Unter Verwendung des trigonometrischen Additionstheorems:
\[ \cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h \]erhalten wir:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \]Trennen Sie die Grenzwerte:
\[ f'(x) = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \]Unter Verwendung der Standardergebnisse:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \] \[ \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 \]bekommen wir:
\[ f'(x) = \cos x(0) - \sin x(1) = -\sin x \]Graph von cos(x) und seiner Ableitung
Die Graphen von \( \cos x \) und ihrer Ableitung sind unten dargestellt. Maxima und Minima von \( \cos x \) entsprechen den Nullstellen ihrer Ableitung.
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Ableitung der zusammengesetzten Funktion cos(u(x))
Unter Verwendung der Kettenregel:
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = \frac{d}{du}(\cos u) \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = -\sin u \cdot \frac{du}{dx} \]Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Ableiten zusammengesetzter Kosinusfunktionen
Finden Sie die Ableitungen:
- \( f(x) = \cos(2x + 2) \)
- \( g(x) = \cos(\tan x) \)
- \( h(x) = \cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)
Lösungen:
-
Sei \( u = 2x + 2 \), dann ist \( u' = 2 \).
\[ f'(x) = -2\sin(2x + 2) \] -
Sei \( u = \tan x \), dann ist \( u' = \sec^2 x \).
\[ g'(x) = -\sin(\tan x)\sec^2 x \] -
Sei \( u = \frac{x^2}{x^2+1} \). Unter Verwendung der Quotientenregel:
\[ u' = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]