Beweis der Ableitung von cos(x)

Wir verwenden die Definition der Ableitung, um die Formel für die Ableitung von \( \cos(x) \) zu beweisen. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion \( \cos(u(x)) \) wird ebenfalls mithilfe der Kettenregel vorgestellt, mit ausgearbeiteten Beispielen.

Beweis mithilfe der Definition der Ableitung

Die Definition der Ableitung einer Funktion \( f \) ist

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Sei \( f(x)=\cos x \). Dann

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \]

Unter Verwendung der Identität

\[ \cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h \]

erhalten wir

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h} \]

Trennen der Grenzwerte:

\[ f'(x)=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} \]

Unter Verwendung der Standardergebnisse:

\[ \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 \] \[ \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0 \]

erhalten wir

\[ f'(x)=\cos x(0)-\sin x(1)=-\sin x \]

\[ \boxed{\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x} \]

Graph von cos(x) und seiner Ableitung

Die Graphen von \( \cos x \) und seiner Ableitung sind unten dargestellt. Maxima und Minima von \( \cos x \) entsprechen Nullstellen seiner Ableitung.

Graph von cos x und seiner Ableitung

Ableitung der zusammengesetzten Funktion cos(u(x))

Unter Verwendung der Kettenregel:

\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x))=\frac{d}{du}(\cos u)\cdot\frac{du}{dx} \] \[ =-\sin u\cdot\frac{du}{dx} \]

\[ \boxed{\frac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\,u'(x)} \]

Beispiel

Finden Sie die Ableitungen:

  1. \( f(x)=\cos(2x+2) \)
  2. \( g(x)=\cos(\tan x) \)
  3. \( h(x)=\cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)

Lösungen

  1. \[ u=2x+2,\quad u'=2 \] \[ f'(x)=-2\sin(2x+2) \]
  2. \[ u=\tan x,\quad u'=\sec^2 x \] \[ g'(x)=-\sin(\tan x)\sec^2 x \]
  3. \[ u=\frac{x^2}{x^2+1},\quad u'=\frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x)=- \frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]

Weitere Referenzen

Definition der Ableitung
Einschnürungssatz
Grenzwerte trigonometrischer Funktionen
Kettenregel