Beweis der Ableitung von cot(x)

Die Ableitung von \( \cot(x) \) kann mithilfe der Ableitungen von \( \sin x \) und \( \cos x \) mit der Quotientenregel berechnet werden. Ableitungen von zusammengesetzten Kotangensfunktionen werden ebenfalls mit ausgearbeiteten Beispielen vorgestellt.

Beweis der Ableitung von cot(x)

Unter Verwendung der trigonometrischen Identität:

und der Quotientenregel erhalten wir:

Setze \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) und \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \) ein:

\[ \boxed{\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x} \]

Graph von cot(x) und seiner Ableitung

Die Graphen von \( \cot x \) und seiner Ableitung sind unten dargestellt. Da \( \cot x \) fallend ist, ist seine Ableitung überall negativ.

Ableitung der zusammengesetzten Funktion cot(u(x))

Mit der Kettenregel:

\[ \boxed{\frac{d}{dx} \cot(u(x)) = -\csc^2(u(x))\,u'(x)} \]

Beispiele

Finden Sie die Ableitungen:

1. \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
2. \( g(x) = \cot(e^x) \)
3. \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)

Lösungen

1. \[ u = x^3 - 2x + 2, \quad u' = 3x^2 - 2 \] \[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2-2)\csc^2(x^3-2x+2) \]
2. \[ u = e^x, \quad u' = e^x \] \[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \]
3. \[ u = \frac{-2}{x^3+2}, \quad u' = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]

Weitere Referenzen