Die Ableitung von \( \cot(x) \) kann unter Verwendung der Ableitungen von \( \sin x \) und \( \cos x \) mit der Quotientenregel berechnet werden. Ableitungen von zusammengesetzten Kotangensfunktionen werden ebenfalls mit durchgerechneten Beispielen vorgestellt.
Beweis der Ableitung von cot(x)
Unter Verwendung der trigonometrischen Identität:
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]und der Quotientenregel haben wir:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{\left(\frac{d}{dx} \cos x\right) \cdot \sin x - \cos x \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]Setze \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) und \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \) ein:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x) - \cos x (\cos x)}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]Graph von cot(x) und seiner Ableitung
Die Graphen von \( \cot x \) und ihrer Ableitung sind unten dargestellt. Da \( \cot x \) monoton fallend ist, ist ihre Ableitung überall negativ.
-and-its-derivative.gif)
Ableitung der zusammengesetzten Funktion cot(u(x))
Unter Verwendung der Kettenregel:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = \frac{d}{du}(\cot u) \cdot \frac{du}{dx} = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Ableiten zusammengesetzter Kotangensfunktionen
Finden Sie die Ableitungen:
- \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
- \( g(x) = \cot(e^x) \)
- \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)
Lösungen:
-
Sei \( u = x^3 - 2x + 2 \), dann ist \( u' = 3x^2 - 2 \).
\[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2 - 2)\csc^2(x^3 - 2x + 2) \] -
Sei \( u = e^x \), dann ist \( u' = e^x \).
\[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \] -
Sei \( u = \frac{-2}{x^3+2} \). Unter Verwendung der Quotientenregel oder der Potenzregel:
\[ u' = \frac{0 - (-2)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]