Die Ableitung von \( \csc(x) \) kann mithilfe der Quotientenregel berechnet werden. Ableitungen von zusammengesetzten Kosekansfunktionen werden ebenfalls mit durchgerechneten Beispielen vorgestellt.
Beweis der Ableitung von csc(x)
Unter Verwendung der trigonometrischen Identität:
\[ \csc x = \frac{1}{\sin x} \]und der Quotientenregel:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{\left(\frac{d}{dx} 1\right) \cdot \sin x - 1 \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]Da \( \frac{d}{dx} 1 = 0 \) und \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \) gilt, erhalten wir:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \, \csc x \]
Formel:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x \]
Graph von csc(x) und seiner Ableitung
Die Graphen von \( \csc x \) und ihrer Ableitung sind unten dargestellt:
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Ableitung der zusammengesetzten Funktion csc(u(x))
Unter Verwendung der Kettenregel:
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx} \]
Kettenregel-Formel:
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x) \]
Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Ableiten zusammengesetzter Kosekansfunktionen
Finden Sie die Ableitungen:
- \( f(x) = \csc(-x^3 + 3) \)
- \( g(x) = \csc(\cos x) \)
- \( h(x) = \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \)
Lösungen:
-
Sei \( u = -x^3 + 3 \), dann ist \( u' = -3x^2 \).
\[ f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \] -
Sei \( u = \cos x \), dann ist \( u' = -\sin x \).
\[ g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \] -
Sei \( u = \frac{1}{x^2+1} \), dann ist \( u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \).
\[ h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \]