Beweis der Ableitung von csc(x)
Die Ableitung von \( \csc(x) \) kann mit der
Quotientenregel berechnet werden.
Ableitungen von zusammengesetzten Kosekanusfunktionen werden ebenfalls mit durchgerechneten Beispielen vorgestellt.
Beweis der Ableitung von csc(x)
Unter Verwendung der trigonometrischen Identität:
\[
\csc x = \frac{1}{\sin x}
\]
und der Quotientenregel:
\[
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{ (\frac{d}{dx} 1) \cdot \sin x - 1 \cdot (\frac{d}{dx} \sin x) }{\sin^2 x}
\]
Da \( \frac{d}{dx} 1 = 0 \) und \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \) ist, erhalten wir
\[
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \csc x
\]
\[
\boxed{\frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x}
\]
Graph von csc(x) und seiner Ableitung
Die Graphen von \( \csc x \) und seiner Ableitung sind unten dargestellt.
-and-its-derivative.gif)
Ableitung der zusammengesetzten Funktion csc(u(x))
Unter Verwendung der Kettenregel:
\[
\frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx}
\]
\[
\boxed{\frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x)}
\]
Beispiele
Finden Sie die Ableitungen:
- \( f(x) = \csc(-x^3 + 3) \)
- \( g(x) = \csc(\cos x) \)
- \( h(x) = \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \)
Lösungen
-
\[
u = -x^3 + 3, \quad u' = -3x^2
\]
\[
f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' \\\\ = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) \\\\ = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3)
\]
-
\[
u = \cos x, \quad u' = -\sin x
\]
\[
g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' \\\\= -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) \\\\= \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x)
\]
-
\[
u = \frac{1}{x^2+1}, \quad u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}
\]
\[
h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' \\\\ = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) \\\\ = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right)
\]
Weitere Referenzen
Ableitungsregeln
Trigonometrische Identitäten und Formeln
Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Kettenregel in der Analysis