Diese Seite präsentiert die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x) mithilfe der Definition der Ableitung. Wir behandeln auch die Ableitung zusammengesetzter Funktionen der Form \( \ln(u(x)) \) und stellen detaillierte Beispiele bereit.
Beweis der Ableitung von ln(x) mithilfe der Definition
Die Ableitung einer Funktion \( f \) ist definiert als:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Sei \( f(x) = \ln(x) \). Dann:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \]Unter Verwendung der Potenzregel für Logarithmen schreiben wir:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \]Substituiere \( y = \dfrac{h}{x} \), sodass \( h = yx \) und \( \lim_{h \to 0} y = 0 \) gilt. Dann:
\[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \]
Formel:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]
Ableitung einer zusammengesetzten Funktion \( y = \ln(u(x)) \)
Unter Verwendung der Kettenregel:
Kettenregel-Formel:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} \]
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1: Ableitungen von zusammengesetzten ln-Funktionen
Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
- \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
- \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
- \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)
Lösungen:
- Sei \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \), dann ist \( u'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \). \[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \]
- Sei \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \), dann ist \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \). \[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \]
- Sei \( u(x) = x^2+2x-5 \), dann ist \( u'(x) = 2x+2 \). \[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]