Ableitung von ln(x): Beweis und Beispiele

Diese Seite präsentiert die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x) unter Verwendung der Definition der Ableitung. Wir behandeln auch die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen der Form ln(u(x)) und geben detaillierte Beispiele.

Beweis der Ableitung von ln(x) mittels der Definition

Die Ableitung einer Funktion f ist definiert als: \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \] Sei \( f(x) = \ln(x) \). Dann \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \] Unter Verwendung der Potenzeigenschaft von Logarithmen schreiben wir \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \] Ersetzen wir \( y = \dfrac{h}{x} \), also \( h = y x \) und \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). Dann \[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \] \[ \boxed{\large{ \color{red}{\dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x}}} } \]

Ableitung einer zusammengesetzten Funktion \( y = \ln(u(x)) \)

Unter Verwendung der Kettenregel: \[ \boxed{\large{ \color{red}{ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} }}} \]

Beispiel 1: Ableitungen von zusammengesetzten ln-Funktionen

Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

  1. \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
  2. \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
  3. \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)

Lösungen

  1. Sei \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \), dann \( u'(x) = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \). \[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \]
  2. Sei \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \), dann \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \). \[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \]
  3. Sei \( u(x) = x^2+2x-5 \), dann \( u'(x) = 2x+2 \). \[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]

Referenzen und weiterführende Literatur