Ableitung von sec(x): Beweis und Beispiele

Schritt-für-Schritt-Herleitung mit der Quotientenregel, Graph, Kettenregel-Formel und gelöste Beispiele

Die Ableitung von \( \sec(x) \) wird unter Verwendung der Quotientenregel der Ableitungen berechnet.

Beweis der Ableitung von sec(x)

Eine trigonometrische Identität, die \( \sec x \) und \( \cos x \) verknüpft, ist gegeben durch:

\[ \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \]

Wir verwenden die Quotientenregel der Differentiation, um die Ableitung von \( \sec x \) zu finden:

\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}1\right) \cos x - 1 \left(\dfrac{d}{dx} \cos x\right)}{\cos^2 x} \]

Die Ableitung der Konstanten 1 ist gleich null. Unter Verwendung der Formel für die Ableitung der trigonometrischen Funktion \( \cos x \), welche \( \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \) lautet, setzen wir ein, um folgendes zu erhalten:

\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{0 - (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

Vereinfachen:

\[ = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = \tan x \sec x \]
Formel: \[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x \]

Graph von sec(x) und seiner Ableitung

Die Graphen von \( \sec(x) \) und ihrer Ableitung sind unten dargestellt:

Graph von sec x und seiner Ableitung

Ableitung der zusammengesetzten Funktion sec(u(x))

Wir betrachten nun die zusammengesetzte Funktion Sekans einer anderen Funktion \( u(x) \). Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation, um zu schreiben:

\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sec u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{du}{dx} \]
Kettenregel-Formel: \[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \tan(u(x)) \; \sec(u(x)) \; u'(x) \]

Beispiele mit Lösungen

Durchgerechnete Beispiele: Ableiten zusammengesetzter Sekansfunktionen

Finden Sie die Ableitung der zusammengesetzten Sekansfunktionen:

  1. \( f(x) = \sec(x^2 + x - 1) \)
  2. \( g(x) = \sec(\sin x) \)
  3. \( h(x) = \sec(\sqrt{x+2}) \)

Lösungen:

  1. Sei \( u(x) = x^2 + x - 1 \), dann ist \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \).
    Anwendung der Regel für die zusammengesetzte Sekansfunktion: \[ f'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = (2x + 1) \, \tan(x^2 + x - 1) \, \sec(x^2 + x - 1) \]
  2. Sei \( u(x) = \sin x \), dann ist \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \).
    Anwendung der Regel: \[ g'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \cos x \, \tan(\sin x) \, \sec(\sin x) \]
  3. Sei \( u(x) = \sqrt{x+2} \), dann ist \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \).
    Anwendung der Regel: \[ h'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \dfrac{\tan(\sqrt{x+2}) \, \sec(\sqrt{x+2})}{2\sqrt{x+2}} \]

Weitere Referenzen und Links