Ableitung von sec x

Die Ableitung von \( \sec (x)\) wird mit der Quotienten-Regel der Ableitungen berechnet.

Beweis der Ableitung von sec x

Eine trigonometrische Identität für \( \sec x \) und \( \cos x \) ist gegeben durch \[ \sec x = \dfrac { 1 }{ \cos x } \] Wir verwenden die Quotientenregel der Differentiation, um die Ableitung von \( \sec x \) zu finden; daher \[ \dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac {d}{dx} \left(\dfrac{ 1 }{\cos x} \right) = \dfrac { \left(\dfrac {d}{dx}1 \right) { \cos x } - 1 \left(\dfrac {d}{dx} \cos x\right) } {\cos^2 x} \] Die Ableitung der Konstanten 1 ist gleich Null. Verwenden Sie die Formeln für die Ableitung der trigonometrischen Funktionen \( \cos x \), gegeben durch \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \), und setzen Sie ein, um \[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac{ (0 - (-\sin x) )}{\cos^2 x}} \] zu erhalten. Vereinfachen Sie \[ {= \dfrac{ \sin x } {\cos^2 x} = \dfrac{ \sin x }{\cos x} \dfrac{ 1 }{\cos x} = \tan x \sec x}\] Schlussfolgerung
\[ \boxed{ {\dfrac {d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x} } \]

Graph von sec x und seiner Ableitung

Die Graphen von \( \sec(x) \) und seiner Ableitung sind unten dargestellt.

Ableitung der zusammengesetzten Funktion sec (u(x))

Wir betrachten nun die zusammengesetzte Funktion sec einer anderen Funktion u(x). Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation, um \[ \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \sec u) (\dfrac{d}{dx} u ) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u \] zu schreiben. Schlussfolgerung \[ \boxed{ \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = \tan u \; \sec u \; \dfrac{d}{dx} u} \]

Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung der zusammengesetzten sec-Funktionen

1. \( f(x) = \sec (x^2 + x - 1) \)
2. \( g(x) = \sec (\sin(x)) \)
3. \( h(x) = \sec (\sqrt{x+2}) \)

Lösung zu Beispiel 1

1. 
   Sei \( u(x) = x^2 + x - 1 \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2 + x - 1) = 2x + 1 \) und wenden Sie die oben angegebene Regel für die zusammengesetzte sec-Funktion an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (x^2 + x - 1) \sec (x^2 + x - 1) \times (2x + 1) \)
   
   \( = (2x + 1) \; \tan (x^2 + x - 1) \; \sec (x^2 + x - 1) \)
   
   
2. 
   Sei \( u(x) = \sin x \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \) und wenden Sie die obige Regel an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sin x) \sec (\sin x) \times (\cos x) \)
   
   \( = \cos x \; \tan (\sin x) \; \sec (\sin x) \)
   
   
3. 
   Sei \( u(x) = \sqrt{x+2} \) und daher \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \) und wenden Sie die oben erhaltene Regel an
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sqrt{x+2}) \sec (\sqrt{x+2}) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \)
   
   \( = \dfrac {\tan (\sqrt{x+2}) \; \sec (\sqrt{x+2})} {{2\sqrt{x+2}} } \)
   
   

Weitere Referenzen und Links