Grenzwerte von Funktionen in der Analysis finden
Finden Sie die Grenzwerte verschiedener Funktionen mit unterschiedlichen Methoden. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt. Weitere Übungen mit Antworten befinden sich am Ende dieser Seite.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x-1|}
\]
Lösung zu Beispiel 1:
Beachten Sie, dass wir den Grenzwert suchen, wenn \( x \) sich von links der 1 nähert (\( x \to 1^- \) bedeutet, dass \( x \) sich der 1 mit Werten kleiner als 1 nähert). Daher:
\[
x \lt 1
\]
\[
x - 1 \lt 0
\]
Wenn \( x - 1 \lt 0 \), dann:
\[
|x - 1| = -(x - 1)
\]
Vereinfachen, um zu erhalten:
\[
\lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)}
\]
\[
\lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4
\]
Die endgültige Antwort ist:
\[
\boxed{-4}
\]
Beispiel 2
Berechnen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30}
\]
Lösung zu Beispiel 2:
Obwohl der fragliche Grenzwert das Verhältnis zweier Polynome ist, macht \( x = 5 \) sowohl den Zähler als auch den Nenner gleich Null. Wir müssen sowohl den Zähler als auch den Nenner faktorisieren, wie unten gezeigt.
\[
\lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)}
\]
Vereinfachen, um zu erhalten:
\[
\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{(x + 5)}{(x + 6)} = \dfrac{10}{11}
\]
Die endgültige Antwort ist:
\[
\boxed{\dfrac{10}{11}}
\]
Beispiel 3
Bestimmen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{|x - 2|}
\]
Lösung zu Beispiel 3:
Wir müssen den linksseitigen Grenzwert von 2 und den rechtsseitigen Grenzwert von 2 betrachten.
Wenn \( x \) sich von links der 2 nähert (\( x \to 2^- \)), ist \( x - 2 \lt 0 \), daher:
\[
|x - 2| = -(x - 2)
\]
Einsetzen, um den linksseitigen Grenzwert von 2 wie folgt zu erhalten:
\[
\lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)}
\]
Faktorisieren des Zählers: \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \)
\[
= \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)}
= \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8
\]
Wenn \( x \) sich von rechts der 2 nähert (\( x \to 2^+ \)), ist \( x - 2 > 0 \), daher:
\[
|x - 2| = x - 2
\]
Einsetzen, um den rechtsseitigen Grenzwert von 2 wie folgt zu erhalten:
\[
\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2}
= \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2}
= \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8
\]
Der rechtsseitige Grenzwert von 2 (8) und der linksseitige Grenzwert von 2 (-8) sind nicht gleich, daher EXISTIERT der gegebene Grenzwert NICHT.
Beispiel 4
Berechnen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1)
\]
Lösung zu Beispiel 4:
Wenn \( x \) sich von rechts -1 nähert, nähert sich \( \sqrt[3]{x+1} \) 0 und \( \ln(x+1) \) nähert sich \( -\infty \), daher eine unbestimmte Form \( 0 \times (-\infty) \).
\[
\lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty)
\]
Schreiben wir den Grenzwert so um, dass er die unbestimmte Form \( \dfrac{\infty}{\infty} \) hat.
\[
= \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty}
\]
Wir wenden nun die Regel von L'Hôpital an und finden den Grenzwert.
\[
= \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}}
\]
\[
= \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0
\]
Somit ist der Grenzwert 0.
\[
\boxed{0}
\]
Beispiel 5
Finden Sie den Grenzwert:
\[
\lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)
\]
Lösung zu Beispiel 5:
Je größer \( x \) wird, desto größer wird \( x + 1 \), \( \dfrac{1}{x+1} \) nähert sich Null,
\( e^{1/(x+1)} \) nähert sich 1, und \( e^{1/(x+1)} - 1 \) nähert sich 0;
daher eine unbestimmte Form: \( \infty \times 0 \).
\[
\lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)
= -\,\infty \cdot 0
\]
Schreiben wir den Grenzwert so um, dass er die unbestimmte Form \( \dfrac{0}{0} \) hat:
\[
= \lim_{x \to \infty} -\,\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0}
\]
Wenden Sie den Satz von L'Hospital an, um den Grenzwert zu finden:
\[
\lim_{x \to \infty} -\,\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}}
= -\,\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}
{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)}.
\]
\[
= \lim_{x \to \infty} -\,\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}}
= \lim_{x \to \infty} -\, e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1
\]
Daher
\[
\lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1
\]
Beispiel 6
Berechnen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}
\]
Lösung zu Beispiel 6:
Wenn \( x \) sich 9 nähert, nähern sich sowohl Zähler als auch Nenner 0.
Multiplizieren Sie sowohl Zähler als auch Nenner mit dem konjugierten Ausdruck des Zählers:
\[
\lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}
\]
Ausmultiplizieren und vereinfachen:
\[
\lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}
\]
Nun den Grenzwert finden:
\[
\lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6}.
\]
Beispiel 7
Finden Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x}
\]
Lösung zu Beispiel 7:
Der Wertebereich der Kosinusfunktion ist
\[
-1 \le \cos x \le 1
\]
Teilen Sie alle Terme der obigen Ungleichung durch \( x \), für \( x > 0 \):
\[
-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x}
\]
Nun, wenn \( x \to +\infty \), nähern sich sowohl \( -\dfrac{1}{x} \) als auch \( \dfrac{1}{x} \) \( 0 \).
Daher ist nach dem Einschnürungssatz der Grenzwert
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0.
\]
Beispiel 8
Finden Sie den Grenzwert
\[
\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t}
\]
Lösung zu Beispiel 8:
Wenn \( t \) sich 0 nähert, nähern sich sowohl Zähler als auch Nenner 0 und wir haben die unbestimmte Form \( 0 / 0 \).
\[
\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0}
\]
Daher wird der Satz von L'Hopital verwendet, um den obigen Grenzwert wie folgt zu berechnen:
\[
\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)}
\]
\[
= \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t}
\]
\[
= \dfrac{0}{1}
\]
\[
= 0
\]
Beispiel 9
Berechnen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{16x^2 + 1}}
\]
Lösung zu Beispiel 9:
Wir klammern zuerst \( 16x^2 \) unter der Quadratwurzel des Nenners aus, ziehen es aus der Quadratwurzel heraus und schreiben den Grenzwert um als
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}}
\]
Da \( x \) sich größeren positiven Werten (Unendlich) nähert, ist \( |x| = x \) und \( \dfrac{1}{16x^2} \) nähert sich \( 0 \). Vereinfachen und den Grenzwert finden.
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}}
\]
\[
= \dfrac{3}{4}
\]
Beispiel 10
Finden Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}
\]
Lösung zu Beispiel 10:
Wenn \( x \) sich von links der 2 nähert, dann nähert sich \( x - 2 \) von links der 0 oder \( x - 2 \lt 0 \). Der Zähler nähert sich 5 und der Nenner nähert sich von links der 0, daher ist der Grenzwert gegeben durch
\[
\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}
= -\infty \]
Beispiel 11
Berechnen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2 + 2x - 1}
\]
Lösung zu Beispiel 11:
Klammern Sie \( x^2 \) im Nenner aus und vereinfachen Sie.
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)}
\]
Wenn \( x \) große Werte (Unendlich) annimmt, nähern sich die Terme \( \dfrac{2}{x} \) und \( \dfrac{1}{x^2} \) 0, daher ist der Grenzwert
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4}
\]
Beispiel 12
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[
\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{\sin(t)}
\]
Lösung zu Beispiel 12:
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( t \):
\[
= \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)}
\]
Schreiben Sie den Ausdruck durch algebraische Umformung um:
\[
= \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)}
= \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)}
\]
Verwenden Sie den bekannten Grenzwert \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \). Sei \( u = 3t \), also wenn \( t \to 0 \), dann \( u \to 0 \):
\[
\lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1
\]
Ebenfalls:
\[
\lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1
\]
Daher ist der Grenzwert:
\[
= 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3
\]
Beispiel 13
Finden Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right)
\]
Lösung zu Beispiel 13:
Klammern Sie \( x^2 \) innerhalb der Quadratwurzel aus.
\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2})} - x \right)
\]
Nutzen Sie die Tatsache, dass \( \sqrt{x^2} = |x| \):
\[
= \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right)
= \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right)
\]
Da \( x \) große positive Werte (Unendlich) annimmt, ist \( |x| = x \) und sowohl \( \dfrac{1}{x} \) als auch \( \dfrac{1}{x^2} \) nähern sich 0. Daher haben wir die unbestimmte Form \( \infty - \infty \):
\[
= \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty
\]
Beginnen Sie erneut mit dem gegebenen Grenzwert und multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck und vereinfachen Sie:
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x }
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x }
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x }
\]
Klammern Sie \( x \) aus Zähler und Nenner aus und vereinfachen Sie:
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) }
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 }
\]
Je größer \( x \) wird, nähern sich die Terme \( \dfrac{1}{x} \) und \( \dfrac{1}{x^2} \) Null und der Grenzwert ist:
\[
= \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}
\]
Beispiel 14
Bestimmen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to \infty} x \sin \dfrac{1}{x}
\]
Lösung zu Beispiel 14:
Sei \( z = 1 / x \), so dass, wenn \( x \) groß wird, \( z \) sich 0 nähert. Ersetzen Sie und berechnen Sie den Grenzwert wie folgt.
\[
= \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1
\]
Übungen
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte
1) \[\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\]
2) \[\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3 - x}{\sqrt{x^2 + 3x}}\]
3) \[\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x - 2}{|x - 2|}\]
4) \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}\]
5) \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{\sin x}\]
6) \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin x}\]
Antworten zu den obigen Übungen
1) \( 3 \)
2) \( 1 \)
3) \( 1 \)
4) \( 1/4 \)
5) \( 0 \)
6) \( 4 \)
Weitere Referenzen und Links
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Grenzwerte von Betragsfunktionen - Fragen
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