Grenzwerte von Funktionen in der Analysis

Beachten Sie, dass wir den Grenzwert für \( x \) gegen 1 von links suchen (\( x \to 1^- \) bedeutet, dass sich \( x \) durch Werte kleiner als 1 der 1 nähert). Daher:

\[ x < 1 \] \[ x - 1 < 0 \]

Wenn \( x - 1 < 0 \), dann:

\[ |x - 1| = -(x - 1) \]

Faktorisieren Sie den Zähler und vereinfachen Sie, um Folgendes zu erhalten:

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

Das Endergebnis ist:

\[ \boxed{-4} \]

Obwohl der fragliche Grenzwert das Verhältnis zweier Polynome ist, ergibt sich für \( x = 5 \) sowohl im Zähler als auch im Nenner Null. Wir müssen sowohl den Zähler als auch den Nenner faktorisieren, wie unten gezeigt.

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]

Vereinfachen Sie, um Folgendes zu erhalten:

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11} \]

Das Endergebnis ist:

\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]

Wir müssen den Grenzwert von links von 2 und den Grenzwert von rechts von 2 betrachten.

Wenn sich \( x \) von links der 2 nähert (\( x \to 2^- \)), ist \( x - 2 < 0 \), daher:

\[ |x - 2| = -(x - 2) \]

Setzen Sie ein, um den Grenzwert von links von 2 wie folgt zu erhalten:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]

Faktorisieren Sie den Zähler \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \):

\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]

Wenn sich \( x \) von rechts der 2 nähert (\( x \to 2^+ \)), ist \( x - 2 > 0 \), daher:

\[ |x - 2| = x - 2 \]

Setzen Sie ein, um den Grenzwert von rechts von 2 wie folgt zu erhalten:

\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]

Der Grenzwert von rechts von 2 (8) und der Grenzwert von links von 2 (-8) sind nicht gleich, daher EXISTIERT der angegebene zweiseitige Grenzwert NICHT.

Wenn sich \( x \) von rechts der -1 nähert, nähert sich \( \sqrt[3]{x+1} \) der 0 und \( \ln(x+1) \) nähert sich \( -\infty \), was eine unbestimmte Form \( 0 \times (-\infty) \) ergibt.

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]

Schreiben wir den Grenzwert so um, dass er die unbestimmte Form \( \dfrac{\infty}{\infty} \) hat.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

Wir wenden nun die L'Hôpital-Regel an und berechnen den Grenzwert.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \] \[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]

Somit ist der Grenzwert 0.

\[ \boxed{0} \]

Wenn \( x \) größer wird, wird \( x + 1 \) größer, \( \dfrac{1}{x+1} \) nähert sich Null, \( e^{1/(x+1)} \) nähert sich 1 und \( e^{1/(x+1)} - 1 \) nähert sich 0; dies ist also eine unbestimmte Form: \( \infty \times 0 \).

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\infty \cdot 0 \]

Schreiben wir den Grenzwert so um, dass er die unbestimmte Form \( \dfrac{0}{0} \) hat:

\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]

Wenden Sie den Satz von L'Hôpital an, um den Grenzwert zu finden:

\[ \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)} \] \[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]

Daher:

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]

Wenn sich \( x \) der 9 nähert, nähert sich sowohl der Zähler als auch der Nenner der 0. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Zählers:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]

Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]

Finden Sie nun den Grenzwert durch direktes Einsetzen:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6} \]

Der Wertebereich der Kosinusfunktion ist:

\[ -1 \le \cos x \le 1 \]

Teilen Sie alle Terme der obigen Ungleichung durch \( x \) für \( x > 0 \):

\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]

Da nun \( x \to +\infty \), nähern sich sowohl \( -\dfrac{1}{x} \) als auch \( \dfrac{1}{x} \) der 0. Daher ist der Grenzwert nach dem Satz von Squeeze:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0 \]

Wenn sich \( t \) der 0 nähert, nähern sich sowohl Zähler als auch Nenner der 0, und wir haben die unbestimmte Form \( 0 / 0 \).

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]

Daher wird der Satz von L'Hôpital verwendet, um den obigen Grenzwert wie folgt zu berechnen:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

Wir klammern zunächst \( 16x^2 \) unter der Quadratwurzel des Nenners aus, ziehen es aus der Quadratwurzel heraus und schreiben den Grenzwert um als:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]

Da sich \( x \) größeren positiven Werten (Unendlichkeit) nähert, ist \( |x| = x \) und \( \dfrac{1}{16x^2} \) nähert sich 0. Vereinfachen Sie und finden Sie den Grenzwert:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} = \dfrac{3}{4} \]

Wenn sich \( x \) von links der 2 nähert, nähert sich \( x - 2 \) von links der 0 oder es gilt \( x - 2 < 0 \). Der Zähler nähert sich der 5 und der Nenner nähert sich von links der 0, daher ist der Grenzwert gegeben durch:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]

Klammern Sie \( x^2 \) im Nenner aus und vereinfachen Sie:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]

Wenn \( x \) große Werte annimmt (Unendlichkeit), nähern sich die Terme \( \dfrac{2}{x} \) und \( \dfrac{1}{x^2} \) der 0. Daher ist der Grenzwert:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( t \):

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

Schreiben Sie den Ausdruck durch algebraische Umformung um:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

Verwenden Sie den bekannten Grenzwert \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \). Sei \( u = 3t \), so dass für \( t \to 0 \) auch \( u \to 0 \) gilt:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]

Außerdem:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]

Daher ist der Grenzwert:

\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]

Klammern Sie \( x^2 \) innerhalb der Quadratwurzel aus:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)} - x \right) \]

Verwenden Sie die Tatsache, dass \( \sqrt{x^2} = |x| \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]

Da \( x \) große positive Werte (Unendlichkeit) annimmt, ist \( |x| = x \) und sowohl \( \dfrac{1}{x} \) als auch \( \dfrac{1}{x^2} \) nähern sich 0. Daher haben wir die unbestimmte Form \( \infty - \infty \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]

Beginnen Sie wieder von vorne mit dem gegebenen Grenzwert, multiplizieren Sie dessen Zähler und Nenner mit dem Konjugierten und vereinfachen Sie:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \] \[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]

Klammern Sie \( x \) im Zähler und Nenner aus und vereinfachen Sie:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]

Wenn \( x \) größer wird, nähern sich die Terme \( \dfrac{1}{x} \) und \( \dfrac{1}{x^2} \) der Null und der Grenzwert ergibt:

\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]

Sei \( z = 1 / x \), so dass sich \( z \) für größer werdendes \( x \) der 0 nähert. Setzen Sie ein und berechnen Sie den Grenzwert wie folgt:

\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]

\[ 3 \]

\[ 1 \]

\[ 1 \]

\[ \dfrac{1}{4} \]

\[ 0 \]

\[ 4 \]