Die L'Hôpital-Regel ermöglicht es uns, ein Grenzwertproblem durch ein anderes zu ersetzen, das möglicherweise einfacher zu lösen ist. Mehrere Beispiele werden zusammen mit ihren Lösungen und detaillierten Erklärungen vorgestellt.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
L'Hôpital-Regel
Wenn \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) (oder beide gegen \( \pm\infty \) streben) und wenn \( \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) einen endlichen Wert \( L \) hat oder von der Form \( +\infty \) oder \( -\infty \) ist, dann:
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]wobei \( \lim \) für \( \lim_{x \to a} \), \( \lim_{x \to a^+} \), \( \lim_{x \to a^-} \), \( \lim_{x \to +\infty} \) oder \( \lim_{x \to -\infty} \) steht.
\( f'(x) \) und \( g'(x) \) sind die Ableitungen von \( f(x) \) bzw. \( g(x) \).
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Berechnen Sie den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)
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Da:
\[ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \]und
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]kann die L'Hôpital-Regel verwendet werden, um den obigen Grenzwert wie folgt auszuwerten:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(\sin x)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{\cos 0}{1} = 1 \]Beispiel 2
Berechnen Sie den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \)
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Beachten Sie, dass:
\[ \lim_{x \to 0} (e^x - 1) = 0 \]und
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]Wir können die L'Hôpital-Regel verwenden, um den gegebenen Grenzwert wie folgt zu berechnen:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(e^x - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = \dfrac{e^0}{1} = 1 \]Beispiel 3
Berechnen Sie den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)
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Da der Grenzwert des Zählers:
\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \]und der des Nenners:
\[ \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0 \]beide gleich Null sind, können wir die L'Hôpital-Regel verwenden, um den Grenzwert zu berechnen:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d(x^2 - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x - 1)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = \dfrac{2(1)}{1} = 2 \]Beachten Sie, dass derselbe Grenzwert auch berechnet werden kann, indem man zuerst wie folgt faktorisiert:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]Beispiel 4
Berechnen Sie den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} \)
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Grenzwert des Zählers:
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0 \]Grenzwert des Nenners:
\[ \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \]Beide Grenzwerte sind gleich Null, daher kann die L'Hôpital-Regel angewendet werden:
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{d(\ln(x - 1))}{dx}}{\dfrac{d(x - 2)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{1}{x - 1}}{1} = \dfrac{\dfrac{1}{2 - 1}}{1} = 1 \]Beispiel 5
Berechnen Sie den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \)
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Grenzwert von Zähler und Nenner:
\[ \lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 0} 6x^2 = 0 \]Die L'Hôpital-Regel kann angewendet werden:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \]Der neue Grenzwert ist ebenfalls unbestimmt \( \dfrac{0}{0} \), und wir können die L'Hôpital-Regel ein zweites Mal anwenden:
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} = \dfrac{\cos 0}{12} = \dfrac{1}{12} \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Klicken Sie auf jede Übung, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Übung 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \)
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Übung 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \)
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Übung 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{3x - 3} \)
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Übung 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin 2x} \)