Die Regel von L'Hopital und die unbestimmten Ausdrücke von Grenzwerten in der Analysis

Die Regel von L'Hopital erlaubt es uns, ein Grenzwertproblem durch ein anderes zu ersetzen, das möglicherweise einfacher zu lösen ist. Mehrere Beispiele werden zusammen mit ihren Lösungen und detaillierten Erklärungen vorgestellt.

Die Regel von L'Hopital

Wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = 0 \) und \( \lim_{{x \to a}} g(x) = 0 \) und wenn \( \lim_{{x \to a}} \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \) einen endlichen Wert \( L \) hat oder von der Form \( +\infty \) oder \( -\infty \) ist, dann gilt \[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \] wobei \( \lim \) für \( \lim_{{x \to a}}, \lim_{{x \to a^+}}, \lim_{{x \to a^-}}, \lim_{{x \to +\infty}}, \) oder \( \lim_{{x \to -\infty}} \) steht.
\( f'(x) \) und \( g'(x) \) sind die Ableitungen von \( f(x) \) bzw. \( g(x) \).

Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1

Finden Sie den Grenzwert \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{x}} \).

Lösung zu Beispiel 1:

Da \[ \lim_{{x \to 0}} \sin x = 0 \] und \[ \lim_{{x \to 0}} x = 0 \] kann die Regel von L'Hopital verwendet werden, um den obigen Grenzwert wie folgt zu berechnen \[ \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{\dfrac{{d(\sin x)}}{{dx}}} {\dfrac{{d(x)}}{{dx}} } \] \[ = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\cos x}}{{1}} = \dfrac{{\cos 0}}{{1}} = 1 \]

Beispiel 2

Finden Sie den Grenzwert \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{x}} \).

Lösung zu Beispiel 2:

Beachten Sie, dass \[ \lim_{{x \to 0}} (e^x - 1) = 0 \] und \[ \lim_{{x \to 0}} x = 0 \] Wir können die Regel von L'Hopital anwenden, um den gegebenen Grenzwert zu berechnen: \[ \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{\dfrac{{d(e^x - 1)}}{{dx}}} { \dfrac{{d(x)}}{{dx}}} \] \[ = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x}}{{1}} = \dfrac{{e^0}}{{1}} = 1 \]

Beispiel 3

Finden Sie den Grenzwert \( \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} \).

Lösung zu Beispiel 3:

Da der Grenzwert des Zählers \[ \lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1) = 0 \] und der des Nenners \[ \lim_{{x \to 1}} (x - 1) = 0 \] beide gleich Null sind, können wir die Regel von L'Hopital zur Berechnung des Grenzwerts anwenden: \[ \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{\dfrac{{d(x^2 - 1)}}{{dx}}}{ \dfrac{{d(x - 1)}}{{dx}}} \] \[ = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{2x}}{{1}} = \dfrac{{2(1)}}{{1}} = 2 \] Beachten Sie, dass derselbe Grenzwert auch durch vorheriges Faktorisieren berechnet werden kann: \[ \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} \] \[ = \lim_{{x\to 1}} (x + 1) = 2 \]

Beispiel 4

Finden Sie den Grenzwert \( \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{\ln(x - 1)}}{{x - 2}} \).

Lösung zu Beispiel 4:

Grenzwert des Zählers \[ \lim_{{x \to 2}} \ln(x - 1) = 0 \] Grenzwert des Nenners \[ \lim_{{x \to 2}} (x - 2) = 0 \] Beide Grenzwerte sind gleich Null, daher kann die Regel von L'Hopital angewendet werden: \[ \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{\ln(x - 1)}}{{x - 2}} = \lim_{{x \to 2}} \dfrac{\dfrac{{d(\ln(x - 1))}}{{dx}}} { \dfrac{{d(x - 2)}}{{dx}} } \] \[ = \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{1/(x-1)}}{{1}} = \dfrac{{1/(2 -1)}}{{1}} = 1 \]

Beispiel 5

Finden Sie den Grenzwert \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{1 - \cos x}}{{6x^2}} \).

Lösung zu Beispiel 5:

Grenzwert von Zähler und Nenner \[ \lim_{{x \to 0}} (1 - \cos x) = 0 \] \[ \lim_{{x \to 0}} 6x^2 = 0 \] Die Regel von L'Hopital kann angewendet werden: \[ \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{1 - \cos x}}{{6x^2}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{12x}} \] Der neue Grenzwert ist ebenfalls unbestimmt \( \dfrac{0}{0} \), und wir können die Regel von L'Hopital ein zweites Mal anwenden: \[ = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\cos x}}{{12}} = \dfrac{{\cos 0}}{{12}} = \dfrac{1}{12} \]

Übungen

Finden Sie die Grenzwerte.
1. \( \quad \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin 4x}}{{\sin 2x}} \)
2. \( \quad \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\tan x}}{{x}} \)
3. \( \quad \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{\ln x}}{{3x - 3}} \)
4. \( \quad \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{\sin 2x}} \)

Lösungen zu den obigen Übungen

1. \( \quad 2 \)
2. \( \quad 1 \)
3. \( \quad \dfrac{1}{3} \)
4. \( \quad \dfrac{1}{2} \)

Weitere Referenzen und Links