Mehrere Beispiele zu Grenzwerten trigonometrischer Funktionen mit detaillierten Lösungen und Übungen mit Antworten werden vorgestellt.
Finden Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}
\]
Lösung zu Beispiel 1:
Multiplizieren wir Zähler und Nenner mit \( 1 + \cos x \) und schreiben
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}
\]
Der Zähler wird zu \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), also
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x} \cdot \frac{1}{1 + \cos x}
\]
Der Grenzwert kann geschrieben werden als
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0
\]
Wir haben den Satz verwendet: \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\).
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4 x}{4 x} \]
Lösung zu Beispiel 2:
Sei \( t = 4 x \). Wenn \( x \) sich 0 nähert, nähert sich \(t\) 0, also
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin 4 x}{4 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} \]
Wir verwenden nun den Satz: \( \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} = 1 \), um den Grenzwert zu finden
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin 4 x}{4 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} = 1 \]
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6 x}{5 x} \]
Lösung zu Beispiel 3:
Sei \( t = 6 x \) oder \( x = t / 6 \). Wenn \( x \) sich 0 nähert, nähert sich \( t \) 0, also
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6 x}{5 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5 t/6} \]
\[ = \lim_{t \to 0} (6 / 5) \dfrac {\sin t}{t} \]
\[ = (6 / 5) \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} \]
\[ = (6 / 5) \cdot 1 = 6 / 5 \]
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 +7x + 12} \]
Lösung zu Beispiel 4:
Wenn wir den Satz über den Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen anwenden, erhalten wir die unbestimmte Form \( \dfrac{0}{0} \). Wir müssen einen anderen Weg finden. Für \( x = -3 \) ist der Nenner gleich Null und kann daher faktorisiert werden, also
\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 +7x + 12} \]
\[ = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]
Sei \( t = x + 3 \) oder \( x = t - 3 \). Wenn \( x \) sich \( -3 \) nähert, nähert sich \( t \) 0.
\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2+7x + 12} \]
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t} { t (t + 1) }\]
Wir wenden nun den Satz über den Grenzwert des Produkts zweier Funktionen an.
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t+1} \]
\[ = 1 \cdot 1 = 1 \]
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \]
Lösung zu Beispiel 5:
Wir werden den Grenzwert finden, wenn \(x\) sich von links 0 nähert und wenn \( x \) sich von rechts \(0\) nähert. Für \( x \lt 0 \) ist \( | x | = -x \)
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} \]
\[ = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin (- x)}{x} \]
\[ = - \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} \]
\[ = -1 \]
Für \( x \gt 0 \) ist \( | x | = x \)
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin | x |}{x} \]
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x }{x} \]
\[ = 1 \]
Die Grenzwerte von links und von rechts haben unterschiedliche Werte, daher existiert der obige Grenzwert nicht.
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin | x |}{x} \quad \text{EXISTIERT NICHT} \]
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \]
Lösung zu Beispiel 6:
Wir verwenden zuerst die trigonometrische Identität \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \)
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \]
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} \]
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{ x \cos x}{\sin x} \]
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\sin x / x} \]
Wir verwenden nun den Satz über den Grenzwert des Quotienten.
\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} (\sin x / x)} = 1 / 1 = 1 \]
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} x \csc x \]
Lösung zu Beispiel 7:
Wir verwenden zuerst die trigonometrische Identität \( \csc x = 1 / \sin x \)
\[ \lim_{x \to 0} x \csc x \]
\[ = \lim_{x \to 0} x / \sin x \]
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sin x / x} \]
Der Satz über den Grenzwert des Quotienten wird verwendet.
\[ = 1 / 1 = 1 \]
Finden Sie die Grenzwerte
1. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3 x }{\sin 8 x} \)
2. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{x} \)
3. \( \lim_{x \to 0} \sqrt x \, \csc ( 4 \sqrt x ) \)
4. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 3x}{x \, \sin(x^2)} \)
Finden Sie die Grenzwerte
1. 3/8
2. 3
3. 1/4
4. 27