Grenzwerte von trigonometrischen Funktionen berechnen

Multiplizieren wir Zähler und Nenner mit \( 1 + \cos x \) und schreiben:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]

Der Zähler wird gleich \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), daher:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \]

Der Grenzwert kann geschrieben werden als:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1) \left(\dfrac{0}{2}\right) = 0 \]

Wir haben den Satz verwendet: \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \).

Sei \( t = 4x \). Wenn sich \( x \) der 0 nähert, nähert sich \( t \) der 0, sodass:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \]

Wir verwenden nun den Satz \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \), um den Grenzwert zu finden:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \]

Sei \( t = 6x \) oder \( x = t / 6 \). Wenn sich \( x \) der 0 nähert, nähert sich \( t \) der 0, sodass:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{6}{5}\right) \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \cdot 1 = \dfrac{6}{5} \]

Wenn wir den Satz über den Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen anwenden, erhalten wir die unbestimmte Form \( \dfrac{0}{0} \). Wir müssen einen anderen Weg finden. Für \( x = -3 \) ist der Nenner gleich Null und kann daher faktorisiert werden, daher:

\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]

Sei \( t = x + 3 \) oder \( x = t - 3 \). Wenn sich \( x \) dem Wert \( -3 \) nähert, nähert sich \( t \) der 0:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t(t + 1)} \]

Wir wenden nun den Satz über den Grenzwert des Produkts zweier Funktionen an:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t + 1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]

Wir bestimmen den Grenzwert, während sich \( x \) von links der 0 nähert und während sich \( x \) von rechts der 0 nähert. Für \( x < 0 \) gilt \( |x| = -x \):

\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1 \]

Für \( x > 0 \) gilt \( |x| = x \):

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

Die Grenzwerte von links und von rechts haben unterschiedliche Werte, daher existiert der obige Grenzwert nicht:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \quad \text{EXISTIERT NICHT} \]

Wir verwenden zunächst die trigonometrische Identität \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \):

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

Wir verwenden nun den Satz über den Grenzwert des Quotienten:

\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

Wir verwenden zunächst die trigonometrische Identität \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \):

\[ \lim_{x \to 0} x \csc x = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

Es wird der Grenzwert des Quotienten verwendet:

\[ = \dfrac{1}{1} = 1 \]