Ein kritischer Punkt einer multivariablen Funktion ist ein Punkt, an dem die partiellen Ableitungen erster Ordnung dieser Funktion gleich null sind. Es werden Beispiele mit detaillierten Lösungen zur Bestimmung der kritischen Punkte einer Funktion mit zwei Variablen vorgestellt.
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Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = x^2 + y^2 \]Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Wir finden zuerst die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = 2y \]Wir lösen nun die folgenden Gleichungen \( f_x(x, y) = 0 \) und \( f_y(x, y) = 0 \) simultan:
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ 2y = 0 \implies y = 0 \]Die Lösung des obigen Gleichungssystems ist das geordnete Paar \( (0, 0) \).
Unten ist der Graph von \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) dargestellt, der zeigt, dass \( f \) an dem kritischen Punkt \( (0, 0) \) einen Minimalwert hat.
Beispiel 2
Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = x^2 - y^2 \]Lösung zu Beispiel 2 anzeigen
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion \( f \):
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]Lösen Sie die Gleichungen \( f_x(x, y) = 0 \) und \( f_y(x, y) = 0 \) simultan:
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]Die Lösung ist das geordnete Paar \( (0, 0) \).
Der Graph von \( f(x, y) = x^2 - y^2 \) ist unten dargestellt. Die Oberfläche krümmt sich in \( y \)-Richtung nach unten und in \( x \)-Richtung nach oben. \( f \) ist bei \( (0, 0) \) stationär, aber es gibt kein Extremum (weder Maximum noch Minimum). \( (0, 0) \) wird als Sattelpunkt bezeichnet, da die Oberfläche in der Nähe von \( (0, 0) \) einem Reitsattel ähnelt.
Beispiel 3
Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = -x^2 - y^2 \]Lösung zu Beispiel 3 anzeigen
Wir finden zuerst die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
\[ f_x(x, y) = -2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]Wir lösen nun \( f_x(x, y) = 0 \) und \( f_y(x, y) = 0 \) simultan:
\[ -2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]Die Lösung ist das geordnete Paar \( (0, 0) \).
Der Graph von \( f(x, y) = -x^2 - y^2 \) ist unten dargestellt und veranschaulicht ein relatives Maximum.
Beispiel 4
Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 - 12y \]Lösung zu Beispiel 4 anzeigen
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind gegeben durch:
\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \] \[ f_y(x, y) = 3y^2 - 12 \]Wir lösen nun die Gleichungen \( f_x(x, y) = 0 \) und \( f_y(x, y) = 0 \) simultan:
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies 3(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ oder } x = 1 \] \[ 3y^2 - 12 = 0 \implies 3(y^2 - 4) = 0 \implies y = -2 \text{ oder } y = 2 \]Durch Kombination aller möglichen Kombinationen von \( x \) und \( y \) lauten die kritischen Punkte:
\[ (1, 2), \; (1, -2), \; (-3, 2), \; (-3, -2) \]Übungen
Finden Sie, falls vorhanden, die kritischen Punkte für die folgenden Funktionen. Klicken Sie auf jede Übung, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Übung 1
\( f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3 \)
Antwort anzeigen
Übung 2
\( f(x, y) = e^{-x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2} \)
Antwort anzeigen
Übung 3
\( f(x, y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)
Antwort anzeigen
Übung 4
\( f(x, y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)