Kritische Punkte von Funktionen mit zwei Variablen

Ein kritischer Punkt einer Funktion mit mehreren Variablen ist ein Punkt, an dem die partiellen Ableitungen erster Ordnung dieser Funktion gleich Null sind. Beispiele mit detaillierter Lösung, wie man die kritischen Punkte einer Funktion mit zwei Variablen findet, werden vorgestellt.
Weitere Optimierungsprobleme mit Funktionen von zwei Variablen auf dieser Webseite.

Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1

Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der Funktion \( f \), definiert durch
\[ f(x , y) = x^2 + y^2 \]

Lösung zu Beispiel 1:
Wir finden zuerst die partiellen Ableitungen erster Ordnung.
\( f_x(x,y) = 2x \)
\( f_y(x,y) = 2y \)
Wir lösen nun die Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \) gleichzeitig.
\( f_x(x,y) = 2x = 0 \)
\( f_y(x,y) = 2y = 0 \)
Die Lösung des obigen Gleichungssystems ist das geordnete Paar (0,0).
Unten ist der Graph von \( f(x , y) = x^2 + y^2 \) und es scheint, dass am kritischen Punkt (0,0) \( f \) einen Minimalwert hat.

Kritischer Punkt Beispiel 1, Minimumpunkt

Beispiel 2

Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der Funktion \( f \), definiert durch
\[ f(x , y) = x^2 - y^2 \]

Lösung zu Beispiel 2:
Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion \( f \).
\( f_x(x,y) = 2x \)
\( f_y(x,y) = -2y \)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \) gleichzeitig.
\( f_x(x,y) = 2x = 0 \)
\( f_y(x,y) = - 2y = 0 \)
Die Lösung ist das geordnete Paar (0,0).
Der Graph von \( f(x , y) = x^2 - y^2 \) ist unten dargestellt. \( f \) krümmt sich in y-Richtung nach unten und in x-Richtung nach oben. \( f \) ist am Punkt (0,0) stationär, aber es gibt kein Extremum (Maximum oder Minimum). (0,0) wird Sattelpunkt genannt, weil es weder ein relatives Maximum noch ein relatives Minimum gibt und die Oberfläche nahe (0,0) wie ein Sattel aussieht.

Kritischer Punkt Beispiel 2, Sattelpunkt

Beispiel 3

Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der Funktion \( f \), definiert durch
\[ f(x , y) = - x^2 - y^2 \]

Lösung zu Beispiel 3:
Wir finden zuerst die partiellen Ableitungen erster Ordnung.
\( f_x(x,y) = - 2x \)
\( f_y(x,y) = - 2y \)
Wir lösen nun die Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \) gleichzeitig.
\( f_x(x,y) = - 2x = 0 \)
\( f_y(x,y) = - 2y = 0 \)
Die Lösung des obigen Gleichungssystems ist das geordnete Paar (0,0).
Der Graph von \( f(x , y) = - x^2 - y^2 \) ist unten dargestellt und hat ein relatives Maximum.

Kritischer Punkt Beispiel 3, Maximumpunkt

Beispiel 4

Finden Sie den/die kritischen Punkt(e) der Funktion, definiert durch
\[ f(x , y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 -12y \]

Lösung zu Beispiel 4:
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind gegeben durch
\( f_x(x,y) = 3x^2 + 6x - 9 \)
\( f_y(x,y) = 3y^2 - 12 \)
Wir lösen nun die Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \) gleichzeitig.
\( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)
\( 3y^2 - 12 = 0 \)
Die Lösungen, welche die kritischen Punkte sind, für das obige Gleichungssystem sind gegeben durch
(1,2) , (1,-2) , (-3,2) , (-3,-2)

Übungen

Finden Sie, falls vorhanden, die kritischen Punkte der folgenden Funktionen.
1. \( f(x , y) = 3xy - x^3 - y^3 \)
2. \( f(x , y) = e^{(- x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2)} \)
3. \( f(x , y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)
4. \( f(x , y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)

Antworten zu den obigen Übungen

1. (0,0) , (1,1)
2. (1,-1)
3. (16,4) , (1,-1)
4. keine kritischen Punkte.

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