Bestimmen Sie relative Maxima, Minima und Sattelpunkte von Funktionen mit zwei Variablen. Es werden mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen vorgestellt. Dreidimensionale Graphen von Funktionen werden gezeigt, um die Existenz dieser Punkte zu bestätigen. Weitere Informationen zu Optimierungsproblemen mit Funktionen von zwei Variablen finden Sie auf dieser Website.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Satz: Test der zweiten Ableitung für Funktionen mit zwei Variablen
Sei \( f \) eine Funktion von zwei Variablen mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) und \( f_{xy} \) an einem kritischen Punkt \( (a, b) \). Sei:
\[ D = f_{xx}(a, b) f_{yy}(a, b) - f_{xy}^2(a, b) \]- a) Wenn \( D > 0 \) und \( f_{xx}(a, b) > 0 \), dann hat \( f \) an der Stelle \( (a, b) \) ein relatives Minimum.
- b) Wenn \( D > 0 \) und \( f_{xx}(a, b) < 0 \), dann hat \( f \) an der Stelle \( (a, b) \) ein relatives Maximum.
- c) Wenn \( D < 0 \), dann hat \( f \) an der Stelle \( (a, b) \) einen Sattelpunkt.
- d) Wenn \( D = 0 \), lässt sich keine Aussage treffen.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ermitteln Sie alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung \( f_x \) und \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = 4x + 2y - 6 \] \[ f_y(x, y) = 2x + 4y \]Die kritischen Punkte erfüllen gleichzeitig die Gleichungen \( f_x(x, y) = 0 \) und \( f_y(x, y) = 0 \):
\[ 4x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2x + 4y = 0 \implies x = -2y \]Setzen Sie \( x = -2y \) in die erste Gleichung ein:
\[ 4(-2y) + 2y - 6 = 0 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \]Daraus folgt \( x = -2(-1) = 2 \). Das System hat einen kritischen Punkt bei \( (2, -1) \).
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 4, \quad f_{xy}(x, y) = 2 \]Berechnen Sie \( D \) an der Stelle \( (2, -1) \):
\[ D = f_{xx}(2, -1) f_{yy}(2, -1) - f_{xy}^2(2, -1) = (4)(4) - 2^2 = 16 - 4 = 12 \]Da \( D = 12 > 0 \) und \( f_{xx}(2, -1) = 4 > 0 \), hat die Funktion \( f \) bei \( (2, -1) \) ein lokales Minimum.
Der 3D-Graph bestätigt ein lokales Minimum bei \( (2, -1, f(2, -1)) = (2, -1, -6) \).
Beispiel 2
Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ermitteln Sie alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \]Lösung zu Beispiel 2 anzeigen
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung \( f_x \) und \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = 4x - 4y \] \[ f_y(x, y) = -4x + 4y^3 \]Lösen Sie \( f_x(x, y) = 0 \) und \( f_y(x, y) = 0 \) simultan:
\[ 4x - 4y = 0 \implies x = y \]Setzen Sie \( x = y \) in \( -4x + 4y^3 = 0 \) ein:
\[ -4y + 4y^3 = 0 \implies 4y(y^2 - 1) = 0 \implies y = 0, \; y = 1, \; y = -1 \]Unter Verwendung von \( x = y \) lauten die kritischen Punkte:
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = -4 \]Werten Sie \( D \) und \( f_{xx} \) an jedem kritischen Punkt aus:
| Kritischer Punkt \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | -4 | -4 | -4 |
| \( D \) | -16 | 32 | 32 |
| Schlussfolgerung | Sattelpunkt | Relatives Minimum | Relatives Minimum |
Beispiel 3
Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ermitteln Sie alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte der durch folgende Gleichung definierten Funktion \( f \):
\[ f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy \]Lösung zu Beispiel 3 anzeigen
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung \( f_x \) und \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = -4x^3 + 4y \] \[ f_y(x, y) = -4y^3 + 4x \]Lösen Sie \( f_x = 0 \) und \( f_y = 0 \):
\[ -4x^3 + 4y = 0 \implies y = x^3 \]Setzen Sie \( y = x^3 \) in die zweite Gleichung ein:
\[ -4(x^3)^3 + 4x = 0 \implies -4x^9 + 4x = 0 \implies -4x(x^8 - 1) = 0 \implies x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \]Reelle Lösungen für \( x \) sind \( x = 0, 1, -1 \). Unter Verwendung von \( y = x^3 \) lauten die kritischen Punkte:
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]Partielle Ableitungen zweiter Ordnung:
\[ f_{xx}(x, y) = -12x^2, \quad f_{yy}(x, y) = -12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = 4 \]| Kritischer Punkt \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( D \) | -16 | 128 | 128 |
| Schlussfolgerung | Sattelpunkt | Relatives Maximum | Relatives Maximum |
Übungen
Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen und ermitteln Sie für jeden Punkt, ob er einem relativen Minimum, Maximum oder Sattelpunkt entspricht. Klicken Sie auf jede Übung, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Übung 1
\( f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 2xy - 8x \)
Antwort anzeigen
Kritischer Punkt bei \( (6, 2) \). Da \( f_{xx} = 2 > 0 \) und \( D = 2(6) - (-2)^2 = 8 > 0 \), liegt ein relatives Minimum bei \( (6, 2) \) vor.
Übung 2
\( f(x, y) = x^3 - 12x + y^3 + 3y^2 - 9y \)
Antwort anzeigen
Kritische Punkte sind \( (2, 1), (2, -3), (-2, 1), (-2, -3) \):
- Relatives Minimum bei \( (2, 1) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = 12 > 0 \))
- Relatives Maximum bei \( (-2, -3) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = -12 < 0 \))
- Sattelpunkte bei \( (2, -3) \) und \( (-2, 1) \) (\( D = -144 < 0 \))