Lokalisieren Sie relative Maxima, Minima und Sattelpunkte von Funktionen zweier Variablen. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt. Dreidimensionale Graphen von Funktionen werden gezeigt, um die Existenz dieser Punkte zu bestätigen. Mehr zu Optimierungsproblemen mit Funktionen zweier Variablen auf dieser Webseite.
Sei \( f \) eine Funktion mit zwei Variablen mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) und \( f_{xy} \) an einem kritischen Punkt \((a,b)\). Es sei
\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - f_{xy}^2(a,b) \]a) Wenn \( D > 0 \) und \( f_{xx}(a,b) > 0 \), dann hat \( f \) an der Stelle \((a,b)\) ein relatives Minimum.
b) Wenn \( D > 0 \) und \( f_{xx}(a,b) \lt 0 \), dann hat \( f \) an der Stelle \((a,b)\) ein relatives Maximum.
c) Wenn \( D \lt 0 \), dann hat \( f \) an der Stelle \((a,b)\) einen Sattelpunkt.
d) Wenn \( D = 0 \), dann kann keine Aussage getroffen werden.
Wir stellen nun mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen vor, wie man relative Minima, Maxima und Sattelpunkte von Funktionen zweier Variablen lokalisieren kann. Wenn zu viele kritische Punkte gefunden werden, ist die Verwendung einer Tabelle sehr praktisch.
Bestimmen Sie die kritischen Punkte und lokalisieren Sie alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte der Funktion \( f \), definiert durch
\[ f(x , y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]Lösung zu Beispiel 1:
Finden Sie die ersten partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \).
Die kritischen Punkte erfüllen gleichzeitig die Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \). Daher
Das obige Gleichungssystem hat eine Lösung am Punkt (2,-1).
Wir müssen nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung \( f_{xx}(x,y) \), \( f_{yy}(x,y) \) und \( f_{xy}(x,y) \) finden.
Wir müssen nun das oben definierte \( D \) finden.
Da \( D \) positiv ist und \( f_{xx}(2,-1) \) ebenfalls positiv ist, hat die Funktion \( f \) nach dem obigen Theorem ein lokales Minimum bei (2,-1).
Der dreidimensionale Graph der oben angegebenen Funktion \( f \) zeigt, dass \( f \) ein lokales Minimum am Punkt (2,-1,\( f(2,-1) \)) = (2,-1,-6) hat.
Bestimmen Sie die kritischen Punkte und lokalisieren Sie alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte der Funktion \( f \), definiert durch
Lösung zu Beispiel 2:
Finden Sie die ersten partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \).
Bestimmen Sie die kritischen Punkte, indem Sie die Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \) gleichzeitig lösen. Daher
Die erste Gleichung ergibt \( x = y \). Ersetzen Sie \( x \) durch \( y \) in der Gleichung \( - 4x + 4y^3 = 0 \), um zu erhalten:
Faktorisieren und nach \( y \) auflösen.
Wir verwenden nun die Gleichung \( x = y \), um die kritischen Punkte zu finden.
Wir bestimmen nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.
Wir verwenden nun eine Tabelle, um die Vorzeichen von \( D \) und \( f_{xx}(a,b) \) zu untersuchen und das obige Theorem anzuwenden, um zu entscheiden, ob ein gegebener kritischer Punkt ein Sattelpunkt, ein relatives Maximum oder Minimum ist.
| kritischer Punkt \( (a,b) \) | (0,0) | (1,1) | (-1,-1) |
| \( f_{xx}(a,b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a,b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a,b) \) | -4 | -4 | -4 |
| D | -16 | 32 | 32 |
| Sattelpunkt | relatives Minimum | relatives Minimum |
Ein dreidimensionaler Graph der Funktion \( f \) zeigt, dass \( f \) zwei lokale Minima bei (-1,-1,1) und (1,1,1) und einen Sattelpunkt bei (0,0,2) hat.
Bestimmen Sie die kritischen Punkte und lokalisieren Sie alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte der Funktion \( f \), definiert durch
Lösung zu Beispiel 3:
Die ersten partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \) sind gegeben durch:
Wir lösen nun die Gleichungen \( f_x(x,y) = 0 \) und \( f_y(x,y) = 0 \), um die kritischen Punkte zu finden.
Die erste Gleichung ergibt \( y = x^3 \). Kombiniert mit der zweiten Gleichung erhalten wir:
Was geschrieben werden kann als:
Was die Lösungen hat:
Wir verwenden nun die Gleichung \( y = x^3 \), um die kritischen Punkte zu finden.
Wir bestimmen nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.
Die folgende Tabelle zeigt die Vorzeichen von \( D \) und \( f_{xx}(a,b) \). Dann wird das obige Theorem verwendet, um zu entscheiden, um welche Art von kritischem Punkt es sich handelt.
| kritischer Punkt \( (a,b) \) | (0,0) | (1,1) | (-1,-1) |
| \( f_{xx}(a,b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a,b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a,b) \) | 4 | 4 | 4 |
| D | -16 | 128 | 128 |
| Sattelpunkt | relatives Maximum | relatives Maximum |
Ein dreidimensionaler Graph der Funktion \( f \) zeigt, dass \( f \) zwei lokale Maxima bei (-1,-1,2) und (1,1,2) und einen Sattelpunkt bei (0,0,0) hat.
Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen und finden Sie heraus, ob jeder Punkt einem relativen Minimum, Maximum, Sattelpunkt entspricht oder ob keine Aussage getroffen werden kann.
1. relatives Maximum bei (1,1) und (-1,-1) und ein Sattelpunkt bei (0,0)
2. relatives Maximum bei (2,-3), relatives Minimum bei (2,1), Sattelpunkte bei (-2,-3) und (-2,1).