Optimierungsprobleme mit Funktionen zweier Variablen
Mehrere Optimierungsprobleme werden gelöst und detaillierte Lösungen werden präsentiert. Diese Probleme beinhalten die Optimierung von Funktionen in zwei Variablen unter Verwendung von partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.
Probleme mit detaillierten Lösungen
Problem 1
Sie entscheiden sich, eine Box in Form eines rechteckigen Prismas mit einem Volumen von 1000 Kubikzentimetern zu bauen. Finden Sie die Abmessungen \( x \), \( y \) und \( z \) der Box, so dass die gesamte Oberfläche aller 6 Seiten der Box minimal ist.
Lösung zu Problem 1:
Die Gesamtfläche \( A \) aller sechs Seiten des Prismas ist gegeben durch:
\[ A = 2xy + 2yz + 2zx \]
Das Volumen der Box ist gegeben; daher
\[ xyz = 1000 \]
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( z \):
\[ z = \frac{1000}{xy} \]
Ersetzen Sie \( z \) im Ausdruck für die Fläche \( A \), um zu erhalten:
\[ A(x,y) = 2xy + 2y \left( \frac{1000}{xy} \right) + 2x \left( \frac{1000}{xy} \right) = 2xy + \frac{2000}{x} + \frac{2000}{y} \]
Wir müssen nun \( x \) und \( y \) finden, die die Fläche \( A \) minimieren. Zuerst müssen wir die kritischen Punkte finden und dann die zweiten partiellen Ableitungen testen. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung von \( A \) sind gegeben durch:
\[ A_x(x,y) = 2y - \frac{2000}{x^2} \]
\[ A_y(x,y) = 2x - \frac{2000}{y^2} \]
Die kritischen Punkte werden gefunden, indem \( A_x(x,y) = 0 \) und \( A_y(x,y) = 0 \) gesetzt und das resultierende System gelöst wird, was ergibt:
\[ 2y - \frac{2000}{x^2} = 0 \]
\[ 2x - \frac{2000}{y^2} = 0 \]
Lösen Sie das Obige, um zu erhalten:
\[ x = 10 \quad \text{und} \quad y = 10 \]
Wir müssen nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung finden:
\[ A_{xx}(x,y) = \frac{4000}{x^3} \]
\[ A_{yy}(x,y) = \frac{4000}{y^3} \]
\[ A_{xy}(x,y) = 2 \]
Wir müssen nun die Werte von \( A_{xx} \), \( A_{yy} \) und \( A_{xy} \) am Punkt (10,10) testen, um den Satz über Minima und Maxima von Funktionen mit 2 Variablen anwenden zu können.
\[ D = A_{xx}(10,10) \cdot A_{yy}(10,10) - A_{xy}^2(10,10) = 4 \times 4 - 4 = 12 \]
\( D \) ist positiv und \( A_{xx}(10,10) = 4 \) ist positiv, daher ist die Fläche \( A \) minimal für
\[ x = 10 \, \text{cm} \]
\[ y = 10 \, \text{cm} \]
\[ z = \frac{1000}{xy} = 10 \, \text{cm} \]
Problem 2
Finden Sie die Abmessungen einer sechsseitigen Box in Form eines rechteckigen Prismas mit dem größtmöglichen Volumen, das Sie aus 12 Quadratmetern Karton herstellen können.
Lösung zu Problem 2:
Wenn der gesamte verfügbare Karton für die Box verwendet wird, ist die Gesamtfläche \( A \) aller sechs Seiten des Prismas gegeben durch:
\[ A = 2xy + 2yz + 2zx = 12 \]
Das Volumen \( V \) der Box ist gegeben durch:
\[ V = xyz \]
Lösen Sie die Gleichung \( 2xy + 2yz + 2zx = 12 \) nach \( z \):
\[ z = \frac{6 - xy}{x + y} \]
Ersetzen Sie \( z \) im Ausdruck für das Volumen \( V \), um zu erhalten:
\[ V(x,y) = \frac{xy(6 - xy)}{x + y} \]
Finden wir die kritischen Punkte, indem wir zuerst die partiellen Ableitungen erster Ordnung finden:
\[ V_x(x,y) = -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \]
\[ V_y(x,y) = -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \]
Wir lösen nun das Gleichungssystem, das durch \( V_x = 0 \) und \( V_y = 0 \) gegeben ist. Eine offensichtliche Lösung ist der Punkt (0,0), der aber physikalisch nicht möglich ist. Andere Lösungen werden gefunden, indem wir setzen:
\[ x^2 + 2xy - 6 = 0 \]
\[ y^2 + 2xy - 6 = 0 \]
Durch termweise Subtraktion der Gleichungen erhalten wir:
\[ x^2 - y^2 = 0 \]
Lösen, um zu erhalten:
\[ x = y \quad \text{und} \quad x = -y \]
Die Lösung \( x = -y \) ist für dieses Problem nicht gültig, da sowohl \( x \) als auch \( y \) Abmessungen sind und nicht negativ sein können. Verwenden Sie \( x = y \) in der Gleichung \( x^2 + 2xy - 6 = 0 \), wir erhalten:
\[ x^2 + 2x^2 - 6 = 0 \]
Lösen Sie nach \( x \)
\[ x = \sqrt{2} \]
Finden Sie \( y \)
\[ y = x = \sqrt{2} \]
Lassen Sie uns nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung finden:
\[ V_{xx}(x,y) = -2y^2 \frac{y^2 + 6}{(x + y)^3} \]
\[ V_{yy}(x,y) = -2x^2 \frac{x^2 + 6}{(x + y)^3} \]
\[ V_{xy}(x,y) = -2xy \frac{x^2 + 3xy + y^2 - 6}{(x + y)^3} \]
Wir benötigen nun die Werte von \( V_{xx} \), \( V_{yy} \) und \( V_{xy} \), um den Wert von \( D = V_{xx}(\sqrt{2},\sqrt{2}) V_{yy}(\sqrt{2},\sqrt{2}) - V_{xy}^2(\sqrt{2},\sqrt{2}) \) zu finden, um den Satz über Minima und Maxima von Funktionen mit 2 Variablen anwenden zu können.
\[ D = V_{xx}(\sqrt{2},\sqrt{2}) V_{yy}(\sqrt{2},\sqrt{2}) - V_{xy}^2(\sqrt{2},\sqrt{2}) = \frac{5}{2} \]
Da \( D \) positiv ist und \( V_{xx}(\sqrt{2},\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \) negativ ist, ist das Volumen \( V \) maximal für:
\[ x = \sqrt{2} \, \text{Meter} \]
\[ y = \sqrt{2} \, \text{Meter} \]
\[ z = \frac{6- xy}{x + y} = \sqrt{2} \, \text{Meter} \]
Problem 3
Finden Sie den Abstand vom Punkt \( (1,2,-1) \) zu der durch die Gleichung \( x - y + z = 3 \) gegebenen Ebene.
Lösung zu Problem 3:
Eine Möglichkeit, den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu finden, besteht darin, einen Punkt \( (x,y,z) \) auf der Ebene zu nehmen; den Abstand zwischen diesem Punkt und dem gegebenen Punkt zu finden und ihn zu minimieren. Da der Abstand die Quadratwurzel beinhaltet, ist es besser, das Quadrat des Abstands zu minimieren. Das Quadrat des Abstands zwischen dem gegebenen Punkt und dem Punkt \( (x,y,z) \) auf der Ebene sei \( f \).
\[ f(x,y,z) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \]
Wir lösen nun die gegebene Gleichung \( x - y + z = 3 \) der Ebene nach \( z \), um zu erhalten:
\[ z = 3 - x + y \]
Ersetzen Sie \( z \) in \( f \) durch \( 3 - x + y \).
\[ F(x,y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (- x + y + 4)^2 \]
Wir finden nun die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
\[ F_x(x,y) = 2(x - 1) + 2(-1)(-x + y + 4) \]
\[ F_y(x,y) = 2(y - 2) + 2(-x + y + 4) \]
Wir müssen nun die kritischen Punkte finden, indem wir die ersten partiellen Ableitungen gleich Null setzen.
\[ 2(x - 1) + 2(-1)(-x + y + 4) = 0 \]
\[ 2(y - 2) + 2(-x + y + 4) = 0 \]
Wir lösen nun das Gleichungssystem, um zu erhalten:
\[ \left( \frac{8}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \]
Wir berechnen nun die Ableitungen zweiter Ordnung:
\[ F_{xx}(x,y) = 4 \]
\[ F_{yy}(x,y) = 4 \]
\[ F_{xy}(x,y) = -2 \]
Wir müssen nun das Vorzeichen von \( D = F_{xx}\left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) F_{yy}\left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) - F_{xy}^2\left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) \) finden, um den Satz über Minima und Maxima von Funktionen mit 2 Variablen anwenden zu können
\[ D = F_{xx}\left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) F_{yy}\left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) - F_{xy}^2\left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) = 12 \]
Da \( D \) positiv und \( F_{xx} \) positiv ist, hat \( F \) ein Minimum am Punkt \( \left(\frac{8}{3},\frac{1}{3}\right) \), der einem Punkt auf der Ebene entspricht, gegeben durch
\[ \left( \frac{8}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) \]
Der Abstand \( d \) zwischen dem gegebenen Punkt und der Ebene ist gegeben durch
\[ d = \sqrt{ (1 - 8/3)^2 + (2 - 1/3)^2 + (-1 - 2/3)^2 } \]
\[ = \frac{5}{\sqrt{3}} \]
Mehr zu partiellen Ableitungen und Funktionen mehrerer Variablen.
Funktionen mehrerer Variablen
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