Partielle Ableitungen zweiter Ordnung in der Analysis
Beispiele mit detaillierten Lösungen zur Berechnung von partiellen Ableitungen zweiter Ordnung werden vorgestellt.
Definitionen und Notationen partieller Ableitungen zweiter Ordnung
Für eine Funktion mit zwei Variablen \( f(x , y) \) können wir 4 partielle Ableitungen zweiter Ordnung zusammen mit ihren Notationen definieren.
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (f_x) = (f_x)_x = f_{xx} \\\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (f_y) = (f_y)_y = f_{yy} \\\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (f_x) = (f_x)_y = f_{xy} \\\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (f_y) = (f_y)_x = f_{yx}
\end{aligned}
\]
Beispiele mit detaillierten Lösungen für partielle Ableitungen zweiter Ordnung
Beispiel 1
Finden Sie \( f_{xx} \) und \( f_{yy} \) für die Funktion \( f(x , y) = \sin(x y) \).
Lösung
\( f_{xx} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}\sin (x y)\right) = \frac{\partial}{\partial x}(y \cos (x y)) = - y^2 \sin (x y) \]
\( f_{yy} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial y}\sin (x y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}(x \cos (x y)) = - x^2 \sin (x y) \]
Beispiel 2
Finden Sie \( f_{xx} \), \( f_{yy} \), \( f_{xy} \), \( f_{yx} \) für die Funktion \( f(x , y) = x^3 + 2 x y \).
Lösung
\( f_{xx} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 2 x y)\right) = \frac{\partial}{\partial x}(3 x^2 + 2 y) = 6x \]
\( f_{yy} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 2 x y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0 \]
\( f_{xy} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 2 x y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}(3 x^2 + 2 y) = 2 \]
\( f_{yx} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 2 x y)\right) = \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2 \]
Beispiel 3
Finden Sie \( f_{xx} \), \( f_{yy} \), \( f_{xy} \), \( f_{yx} \) für die Funktion \( f(x , y) = x^3y^4 + x^2 y \).
Lösung
\( f_{xx} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^3y^4 + x^2 y)\right) = \frac{\partial}{\partial x}(3 x^2y^4 + 2 x y) = 6xy^4 + 2 y \]
\( f_{yy} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial y}(x^3y^4 + x^2 y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3y^3 + x^2) = 12x^3y^2 \]
\( f_{xy} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^3y^4 + x^2 y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^4 + 2 x y) = 12x^2y^3 + 2x \]
\( f_{yx} \) wird wie folgt berechnet
\[ f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}(x^3y^4 + x^2 y)\right) = \frac{\partial}{\partial x}(4x^3y^3 + x^2) = 12x^2y^3 + 2x \]
Weitere Referenzen und Links zu partiellen Ableitungen und Funktionen mit mehreren Variablen
Funktionen mit mehreren Variablen