Tutorials zu Fourier-Reihen werden vorgestellt. Im ersten Teil wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie Fourier-Koeffizienten berechnet werden, und im zweiten Teil können Sie eine interaktive App nutzen, um Fourier-Reihen derselben Funktion weiter zu erkunden.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Fourier-Reihen und Koeffizienten
Fourier-Reihen können verwendet werden, um periodische Funktionen als Linearkombination von Sinus- und Cosinus-Funktionen darzustellen. Wenn \( f(t) \) eine periodische Funktion mit der Periode \( T \) ist, dann ist ihre Fourier-Reihe unter bestimmten Bedingungen gegeben durch:
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\right] \]wobei \( n = 1, 2, 3, \ldots \) und \( T \) die Periode der Funktion \( f(t) \) ist. \( a_n \) und \( b_n \) werden als Fourier-Koeffizienten bezeichnet und sind gegeben durch:
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Beispiel 1
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der durch folgende Vorschrift definierten periodischen Funktion \( f(t) \):
\[ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{für } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{für } T/2 \leq t < T \end{cases} \].gif)
Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Der Koeffizient \( a_0 \) ist gegeben durch:
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt \]Der Koeffizient \( a_n \) ist gegeben durch:
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Der Koeffizient \( b_n \) ist gegeben durch:
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Die Berechnung der Integrale liefert:
\[ a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad \text{und } b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) \]Beachten Sie, dass \( \cos(n\pi) = (-1)^n \) gilt, was bedeutet, dass \( b_n = 0 \) für jedes gerade \( n \).
Somit lautet die Fourier-Reihe für \( f(t) \):
\[ f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]Interaktives Tutorial zu Fourier-Reihen
Für numerische Berechnungszwecke können wir keine unendliche Anzahl von Termen einbeziehen. Daher definieren wir eine Partialsummenfunktion \( f_N(t) \) mit einer begrenzten Anzahl von Termen \( N \):
\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]Die folgende App kann verwendet werden, um die in Beispiel 1 gelöste Fourier-Reihe von \( f(t) \) zu erkunden. Erhöhen Sie \( N \), um zu sehen, wie der Graph von \( f_N(t) \) (in Blau) gegen den Graphen von \( f(t) \) (in Rot) konvergiert.
Die Standardwerte sind \( N = 5 \) und \( T = 4 \). Ändern Sie \( N \) und \( T \) und klicken Sie auf die Schaltfläche, um das Diagramm zu aktualisieren.
Bewegen Sie den Mauszeiger über den Graphen oder den geplotteten Punkt, um die Koordinaten abzulesen.