Finden Sie die Fourier-Reihe der periodischen Funktion f(t), die definiert ist durch \[f(t) = \begin{cases} 1, & \text{für } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{für } T/2 \leq t < T \end{cases}\]
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Tutorials zu Fourier-Reihen werden vorgestellt. Im ersten Teil wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie Fourier-Koeffizienten berechnet werden. In einem zweiten Teil können Sie mit einer App die Fourier-Reihe derselben Funktion weiter erkunden.
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T}]\]
wobei n = 1 , 2 , 3 , ... und T die Periode der Funktion f(t) ist. an und bn werden Fourier-Koeffizienten genannt und sind gegeben durch
\[a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) dt\] \[a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) dt\] \[b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) dt\]
Beispiel 1
Finden Sie die Fourier-Reihe der periodischen Funktion f(t), die definiert ist durch
\[f(t) =
\begin{cases}
1, & \text{für } 0 \leq t < T/2 \\
-1, & \text{für } T/2 \leq t < T
\end{cases}\]
Lösung zu Beispiel 1
Der Koeffizient a0 ist gegeben durch
\[a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt\]
Die Koeffizienten \( a_n \) sind gegeben durch
\[a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt\]
und die Koeffizienten \( b_n \) sind gegeben durch
\[b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt\]
Eine Berechnung der obigen Koeffizienten ergibt
\[ a_0 = 0 , \; a_n = 0 \text{ und } b_n = \dfrac{2}{n\pi} (1 - \cos (n \pi)) \]
Beachten Sie, dass
\[ cos (n \pi) = (-1)^n \]
und dass \( b_n = 0 \) ist, wenn \(n \) gerade ist.
Die gegebene Funktion f(t) hat die folgende Fourier-Reihe
\[f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\]
Für numerische Berechnungen können wir nicht unendlich viele Terme in die obige Reihe aufnehmen. Daher definieren wir die Funktion \( f_N(t) \) mit einer begrenzten Anzahl von Termen \( N \) wie folgt
\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \dfrac{2}{n\pi} (1-(-1)^n) \sin(\dfrac{2 n \pi t}{T}) \]
Die App unten kann verwendet werden, um die Fourier-Reihe von f(t), die in Beispiel 1 oben gelöst wurde, mit einer begrenzten Anzahl von Termen \( N \) in der Reihe zu erkunden. Sie können sehen, wie sich der Graph der Funktion \( f_N(t) \) dem Graphen der Funktion f(t) annähert, wenn \( N \) zunimmt.
Die Standardwerte sind \( N = 5 \) und \( T = 4 \). Erhöhen Sie \( N \) und vergleichen Sie den Graphen der erhaltenen Funktion (in blau) mit dem von \( f(t) \) (in rot), der im Beispiel definiert ist.