Taylor- und Maclaurin-Reihen mit Beispielen

Die Verwendung der Taylor- und Maclaurin-Reihen zur Entwicklung und Annäherung von Funktionen als Potenzreihen an gegebenen Werten von \( x \) wird vorgestellt. Diese Reihen liefern nützliche Polynom-Annäherungen der erzeugenden Funktionen, die auf Taschenrechnern einfacher zu programmieren sind. Beispiele und Fragen mit ihren Lösungen sind enthalten.

Definition der Taylor- und Maclaurin-Reihen

Für eine Funktion \( f \), die in einem Intervall, das \( a \) enthält, Ableitungen aller Ordnungen besitzt, ist die Taylor-Reihe der Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) gegeben durch [1] \[ \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + ... \] wobei \( f'(a), f''(a), ... , f^{(n)}(a) ... \) die Ableitungen von \( f \) an der Stelle \( x = a \) sind. Die Maclaurin-Reihe der Funktion \( f \) ist die Taylor-Reihe an der Stelle \( x = 0 \) und ist gegeben durch \[ \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \]
Die Taylor- und Maclaurin-Reihen sind unendlich, können aber auf \( n \) Glieder gekürzt werden, so dass die Taylor-Reihe ein Taylor-Polynom ist, gegeben durch \[ P_n(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
Ein Online-Taylor-Reihen-Rechner ist enthalten und kann verwendet werden, um viele der unten vorgestellten Beispiele und Übungen zu überprüfen und auch um viele andere Probleme zu erzeugen und zu überprüfen.

Beispiele für Taylor- und Maclaurin-Reihenentwicklungen

Beispiel 1
a) Finden Sie das Taylor-Polynom \( P_4(x) \) (der Ordnung 4), das von \( f(x) = \sin(x) \) an der Stelle \( x = \pi/2 \) erzeugt wird.
b) Verwenden Sie einen grafikfähigen Taschenrechner, um \( \sin(x) \) und \( P_4(x) \) in einem Intervall, das \( \pi/2 \) enthält, zu zeichnen und vergleichen Sie die beiden Graphen.
Lösung
a)
Die Taylor-Reihe der Ordnung 4 von \( f \) ist gegeben durch
\( P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(\pi/2)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \)
Berechnen Sie die ersten 4 Ableitungen von \( f \)
\( f(x) = \sin(x) \) ,   \( f'(x) = \cos(x) \) ,   \( f''(x) = -\sin(x) \) ,
\( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \)   \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \)
Berechnen Sie \( f \) und seine ersten 4 Ableitungen an der Stelle \( x = \pi/2 \)
\( f(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \)  ,  \( f'(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0 \) ,
\( f''(\pi/2) = - \sin(\pi/2) = -1 \) , \( f^{(3)}(\pi/2) = -\cos(\pi/2) = 0 \)   ,  
\( f^{(4)}(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \) ,

Setzen Sie in das oben angegebene \( P_4(x) \) ein
\( P_4(x) = f(a) + f'(a) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \\ \quad = 1 - \dfrac{1}{2} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{1}{24} (x- \pi/2)^4\)
b)
Beim Vergleich der Graphen von \( \sin(x) \) und seiner Taylor-Reihe der Ordnung \( 4 \) liegen die beiden Graphen sehr nahe beieinander, daher kann \( P_4(x) \) verwendet werden, um \( \sin(x) \) in einem Intervall, das \( \pi/2 \) enthält, anzunähern.

Beispiel 2
a) Finden Sie das Taylor-Polynom \( P_5(x) \) (der Ordnung 5), das von \( f(x) = \ln(x) \) an der Stelle \( x = 1 \) erzeugt wird.
b) Verwenden Sie einen grafikfähigen Taschenrechner, um \( \ln(x) \) und \( P_5(x) \) in einem Intervall, das \( 1 \) enthält, zu zeichnen und vergleichen Sie die beiden Graphen.
c) Berechnen Sie \( P_5(x) \) und \( \ln(x) \) in der folgenden Tabelle und vergleichen Sie die entsprechenden Werte.

Beispiel 3
a) Finden Sie die Maclaurin-Reihe, die von \( f(x) = e^x \) erzeugt wird.
b) Verwenden Sie einen grafikfähigen Taschenrechner, um die Maclaurin-Reihe in einem Intervall, das \( 0 \) enthält, mit 2, 3, 4, 5 und 6 Gliedern zu zeichnen.

Lösung
a)
Die Maclaurin-Reihe von \( f \) ist gegeben durch
\( \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
Berechnen Sie die Ableitungen von \( f(x) = e^x\)
\( f(x) = e^x \) ,   \( f'(x) = e^x \) ,   \( f''(x) = e^x \) ,
\( f^{(n)}(x) = e^x \) für alle \( n \ge 3\)
Berechnen Sie die Funktion und ihre Ableitungen an der Stelle \( x = 0 \)
\( f(0) = 1 \) ,   \( f'(0) = 1 \) ,   \( f''(0) = 1 \) ,
\( f^{(n)}(0) = 1 \) für alle \( n \ge 3\)
Setzen Sie in die obige Reihe ein, um die Maclaurin-Reihe von \( f(x) = e^x \) zu erhalten
\( 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + ... + \dfrac{1}{n!} x^n + ... \)
b)
Maclaurin-Reihen mit 2, 3, 4, 5 und 6 Gliedern sind gegeben durch
\( P_1(x) = 1 + x \)
\( P_2(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 \)
\( P_3(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 \)
\( P_4(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4\)
\( P_5(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4 + \dfrac{1}{120} x^5 \)
Die obigen fünf Polynome sind unten zusammen mit der gegebenen Funktion \( f(x) = e^x \) grafisch dargestellt. Wir stellen fest, dass die Annäherungen um \( x = 0 \) herum besser werden, je größer die Anzahl der Glieder in der Reihe ist.

Fragen

Teil A
Finden Sie das Taylor-Polynom der Ordnung \( 4 \), das von \( f \) am gegebenen Wert von \( x \) erzeugt wird.
a) \( f(x) = e^{-x} \) , an der Stelle \( x = 2 \)
b) \( f(x) = \sin(x/2) \) , an der Stelle \( x = \pi \)

Teil B
Finden Sie die Maclaurin-Reihe für die Funktionen
a) \( f(x) = \cos(x+\pi/2) \)
b) \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
c) \( f(x) = e^{-x^2} \)
d) \( f(x) = \sin(x) \)
e) \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Teil C
Finden Sie das Taylor-Polynom der Ordnung \( 5 \), das von \( f(x) = \sin(x) e^x \) an der Stelle \( x = 0 \) erzeugt wird, und zeichnen Sie \( f \) und das Taylor-Polynom in dasselbe Koordinatensystem.

Lösungen zu den obigen Fragen

Teil A
a)
\( P_4(x) = f(2) + f'(2) (x-2) + \dfrac{f''(2)}{2!} (x-2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(2))}{3!} (x- 2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(2))}{4!} (x- 2)^4 \)

\( f(x) = e^{-x} \) , \( f'(x) = - e^{-x} \) , \( f''(x) = e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = - e^{-x} \) , \( f^{(4)}(x) = e^{-x} \)

\( P_4(x) = \quad \dfrac{1}{e^2}-\dfrac{1}{e^2}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{2e^2}\left(x-2\right)^2-\dfrac{1}{6e^2}\left(x-2\right)^3+\dfrac{1}{24e^2}\left(x-2\right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{24e^2}-\dfrac{x^3}{2e^2}+\dfrac{5x^2}{2e^2}-\dfrac{19x}{3e^2} + \dfrac{7}{e^2} \)

b)

\( P_4(x) = f(\pi ) + f'(\pi ) (x-\pi ) + \dfrac{f''(\pi )}{2!} (x-\pi )^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi ))}{3!} (x- \pi )^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi ))}{4!} (x- \pi )^4 \)

\( f(x) = \sin(x/2) \) , \( f'(x) = \dfrac{1}{2} \cos(x/2) \) , \( f''(x) = - \dfrac{1}{4} \sin(x/2) \) , \( f^{(3)}(x) = - \dfrac{1}{8} \cos(x/2) \) , \( f^{(4)}(x) = \dfrac{1}{16} \cos(x/2) \)

\( P_4(x) = 1-\dfrac{1}{8}\left(x-\pi \right)^2+\dfrac{1}{384}\left(x-\pi \right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{384}-\dfrac{\pi x^3}{96}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{\pi ^2x^2}{64}+\dfrac{\pi x}{4}-\dfrac{\pi ^3x}{96}-\dfrac{48 \pi ^2+\pi ^4+384}{384} \)

Teil B
Maclaurin-Reihen sind gegeben durch: \( \quad f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
a)
\( f(x) = \cos(x+\pi/2) \) , \( f'(x) = - \sin(x+\pi/2) \) , \( f''(x) = - \cos(x+\pi/2) \) , \( f^{(3)}(x) = \sin(x+\pi/2) \) ...
Maclaurin-Reihe
\( -x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{120}x^5+\dfrac{1}{5040}x^7-\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

b)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f'(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f''(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = e^x - e^{-x} \) ...
Maclaurin-Reihe
\( 2+x^2+\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{360}x^6+\dfrac{1}{20160}x^8+ \ldots \:\)

c)
\( f(x) = e^{-x^2} \) , \( f'(x) = -2e^{-x^2}x \) , \( f''(x) = -2\left(-2e^{-x^2}x^2+e^{-x^2}\right) \) , \( f^{(3)}(x) = -2\left(4e^{-x^2}x^3-6e^{-x^2}x\right) \)
Maclaurin-Reihe
\( 1-x^2+\dfrac{1}{2}x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\dfrac{1}{24}x^8+\ldots \: \)

d)
\( f(x) = \sin(x) \) , \( f'(x) = \cos(x) \) , \( f''(x) = -\sin(x) \) , \( f^{(3)}(x) = - \cos(x) \) , ...
Maclaurin-Reihe
\( x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5-\dfrac{1}{5040}x^7+\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

e)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f'(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f''(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = e^x + e^{-x} \) ...
Maclaurin-Reihe
\( 2x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{60}x^5+\dfrac{1}{2520}x^7+\dfrac{1}{181440}x^9+\ldots \)

Teil C
\( P_5(x) = x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5 \)

Weitere Referenzen und Links