Analysis Tangentenlinien Probleme – Ausgearbeitete Lösungen (Teil 5)
Analysis Probleme mit Fokus auf Tangentenlinien, präsentiert mit vollständigen Erklärungen und schrittweisen Lösungen.
Frage 1
Finde den Parameter \( p \), so dass die Gerade
\[
y = 3x
\]
die Kurve
\[
y = x^2 + p.
\]
tangiert.
Lösung
-
Die Steigung der Tangente ist \( 3 \).
Die Ableitung der Kurve ist
\[
y' = 2x.
\]
-
Am Tangentialpunkt:
\[
2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}.
\]
-
Der entsprechende \( y \)-Wert auf der Geraden:
\[
y = 3\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2}.
\]
-
Da der Punkt auf der Kurve liegt:
\[
\frac{9}{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + p.
\]
-
Lösen nach \( p \):
\[
p = \frac{9}{4}.
\]
Frage 2
a) Finde \( p \) so, dass die Kurve
\[
y = x^3 + 2x^2 + px + 3
\]
genau eine horizontale Tangente hat.
b) Finde den \( x \)-Wert, an dem diese Tangente auftritt.
Lösung
-
Eine horizontale Tangente tritt auf, wenn
\[
y' = 0.
\]
-
Berechne die Ableitung:
\[
y' = 3x^2 + 4x + p.
\]
-
Für genau eine Lösung muss die Diskriminante Null sein:
\[
D = 4^2 - 4(3)(p) = 16 - 12p = 0.
\]
-
Lösen nach \( p \):
\[
p = \frac{4}{3}.
\]
-
Mit \( D = 0 \) ist die Lösung für \( x \):
\[
x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.
\]
Frage 3
Finde \( p \) und \( q \), so dass die Gerade
\[
y = 2x
\]
die Kurve
\[
y = px^2 + qx + 2
\]
bei \( x = 3 \) tangiert.
Lösung
-
Der Tangentialpunkt liegt auf der Geraden:
\[
(3,\, 2 \cdot 3) = (3,6).
\]
-
Da er auf der Kurve liegt:
\[
6 = 9p + 3q + 2.
\]
-
Die Ableitung der Kurve ist:
\[
y' = 2px + q.
\]
-
Bei \( x = 3 \) ist die Steigung gleich der Steigung der Geraden:
\[
2 = 6p + q.
\]
-
Löse das System:
\[
\begin{cases}
9p + 3q = 4 \\
6p + q = 2
\end{cases}
\]
-
Lösung:
\[
p = \frac{2}{9}, \quad q = \frac{2}{3}.
\]
Frage 4
Finde \( a \) und \( b \), so dass die Gerade
\[
y = ax + b
\]
die Kurve
\[
y = x^2 + 3x + 2
\]
bei \( x = 3 \) tangiert.
Lösung
-
Ableitung der Kurve:
\[
y' = 2x + 3.
\]
-
Steigung bei \( x = 3 \):
\[
a = 2(3) + 3 = 9.
\]
-
Tangentialpunkt:
\[
y = 3^2 + 3(3) + 2 = 20.
\]
-
Einsetzen in die Geradengleichung:
\[
20 = 9(3) + b.
\]
-
Lösen:
\[
b = -7.
\]
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