Verkettete Funktionen: Fragen mit detaillierten Lösungen

Diese Seite präsentiert eine sorgfältig ausgewählte Sammlung von Fragen zur Verkettung von Funktionen, jede gefolgt von einer klaren und detaillierten Lösung. Das Ziel ist es, das konzeptionelle Verständnis zu stärken und die Rechenfähigkeiten zu verbessern.

Frage 1

Sei $f(x) = 2x + 3$ und $g(x) = -x^2 + 1$. Finde die verkettete Funktion $(f \circ g)(x)$.

Lösung

Per Definition, \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)). \] Setze $g(x)$ in $f$ ein: \[ (f \circ g)(x) = 2(-x^2 + 1) + 3 = -2x^2 + 5. \]

Frage 2

Gegeben $f(2)=3$, $g(3)=2$, $f(3)=4$ und $g(2)=5$, berechne $(f \circ g)(3)$.

Lösung

\[ (f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(2) = 3. \]

Frage 3

Sei \[ f(x) = \sqrt{x+2}, \quad g(x) = \ln(1 - x^2). \] Finde $(g \circ f)(x)$ und bestimme seinen Definitionsbereich.

Lösung

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \ln\!\bigl(1 - (\sqrt{x+2})^2\bigr) = \ln(-x - 1). \]

Definitionsbereich:

Der Definitionsbereich ist die Schnittmenge der obigen Bedingungen: \[ [-2,-1). \]

Frage 4

Sei \[ f = \{(-2,1),(0,3),(4,5)\}, \quad g = \{(1,1),(3,3),(7,9)\}. \] Finde $g \circ f$ und gib seinen Definitions- und Wertebereich an.

Lösung

\[ (g \circ f)(-2) = g(1) = 1, \quad (g \circ f)(0) = g(3) = 3. \] \[ (g \circ f)(4) = g(5) \text{ ist nicht definiert.} \]

\[ g \circ f = \{(-2,1),(0,3)\} \]

Definitionsbereich: $\{-2,0\}$ Wertebereich: $\{1,3\}$

Frage 5

Sei $f(x)=\ln x$. Finde die Ableitung von \[ F(x) = (f \circ f)(x). \]

Lösung

\[ F(x) = \ln(\ln x). \] Mit der Kettenregel: \[ F'(x) = \frac{1}{x\ln x}. \]

Frage 6

Schreibe \[ F(x) = |4x^2 + 2x - 5| \] als Verkettung zweier Funktionen.

Lösung

Eine mögliche Wahl: \[ g(x) = 4x^2 + 2x - 5, \quad f(x) = |x|. \] Dann: \[ F(x) = f(g(x)). \]

Frage 7

Gegeben $g(x)=\dfrac{1}{x}$ und \[ F(x) = \frac{1/x}{1+x}, \] schreibe $F$ als verkettete Funktion.

Lösung

Sei: \[ f(x) = \frac{x}{1 + 1/x}. \] Dann: \[ F(x) = f(g(x)). \]

Frage 8

Sei \[ f(x)= \begin{cases} x, & x<0 \\ x^2, & x\ge 0 \end{cases} \quad\text{und}\quad g(x)=\sqrt{x}. \] Finde $g(f(x))$.

Lösung

\[ g(f(x)) = x \quad \text{für } x \ge 0. \]

Frage 9

Wahr oder Falsch: $f(g(x)) = g(f(x))$ für alle Funktionen $f$ und $g$.

Lösung

Falsch. Beispiel: \[ f(x)=x+1,\quad g(x)=x^2. \] \[ f(g(x))=x^2+1,\quad g(f(x))=(x+1)^2. \]

Frage 10

Berechne $f(g(h(1)))$ falls \[ h(x)=-|x|,\quad g(x)=x-1,\quad f(x)=\frac{1}{x+2}. \]

Lösung

\[ h(1)=-1,\quad g(-1)=-2. \] \[ f(-2) \text{ ist nicht definiert.} \]

Daher ist $f(g(h(1)))$ nicht definiert.

Übungen

  1. Berechne $f(g(3))$ falls $f(x)=|x-6|+x^2-1$ und $g(x)=2x$.
  2. Finde $f$ und $g$ falls $f(g(x))=2\sec(2x+1)$.
  3. Finde den Definitionsbereich von $g\circ f$ falls $f(x)=\sqrt{x}$ und $g(x)=1/x$.
  4. Finde den Wertebereich von $f(g(x))$ falls $f(x)=x+4$ und $g(x)=x^2+2$.

Antworten

  1. $35$
  2. $f(x)=2\sec x,\; g(x)=2x+1$
  3. $(0,\infty)$
  4. $[6,\infty)$

Weitere Verweise