Konkavität und Wendepunkte – Übungsfragen
Im Folgenden finden Sie Übungsaufgaben zur Analysis mit detaillierten Lösungen zu
Konkavität
und Wendepunkten von Funktionsgraphen.
Frage 1
Bestimmen Sie die Konkavität des Graphen der allgemeinen
quadratischen Funktion
definiert durch
\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]
Lösung
-
Berechnen Sie die Ableitungen:
\[
f'(x) = 2ax + b
\]
\[
f''(x) = 2a
\]
-
Das Vorzeichen von \( f''(x) \) hängt nur von \( a \) ab:
- Wenn \( a > 0 \), ist der Graph rechtsgekrümmt (konkav von unten).
- Wenn \( a < 0 \), ist der Graph linksgekrümmt (konkav von oben).
Frage 2
Finden Sie alle Intervalle, in denen die Funktion
\[
f(x) = \sin x
\]
rechtsgekrümmt (konkav von unten) ist.
Lösung
-
\[
f'(x) = \cos x, \qquad f''(x) = -\sin x
\]
-
Rechtskrümmung tritt auf, wenn
\[
f''(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin x < 0
\]
-
Innerhalb einer Periode \( [0, 2\pi] \) ist dies auf \( (\pi, 2\pi) \) der Fall.
-
Daher:
\[
(\pi + 2\pi k,\; 2\pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Frage 3
Der Graph von \( f'(x) \) ist unten für \( x \in [a,g] \) dargestellt.
In welchen Intervallen ist \( f \) fallend und linksgekrümmt (konkav von oben)?
Finden Sie außerdem alle Wendepunkte.
Lösung
- \( f \) ist fallend, wenn \( f'(x) < 0 \).
- \( f \) ist linksgekrümmt, wenn \( f'(x) \) fällt.
-
Fallend und linksgekrümmt auf:
\[
(0,d) \quad \text{und} \quad (e,g)
\]
-
Wendepunkte:
\[
(c,f(c)),\ (d,f(d)),\ (e,f(e)),\ (f,f(f))
\]
Frage 4
Finden Sie alle Wendepunkte von
\[
f(x) = 4x^4 - x^3 + 2
\]
Lösung
-
\[
f'(x) = 16x^3 - 3x^2
\]
\[
f''(x) = 48x^2 - 6x = 6x(8x - 1)
\]
-
Vorzeichenwechsel treten auf bei:
\[
x = 0, \quad x = \frac{1}{8}
\]
-
Wendepunkte:
\[
(0,2), \quad \left(\frac{1}{8}, \frac{2047}{1024}\right)
\]
Frage 5
Bestimmen Sie den Wendepunkt von
\[
f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1
\]
Finden Sie anschließend den Wendepunkt von
\[
g(x) = -(x-2)^3 + 3(x-2)^2 + 1
\]
Lösung
-
\[
f'(x) = -3x^2 + 6x, \quad f''(x) = -6x + 6
\]
-
\[
f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1
\]
-
Wendepunkt von \(f\):
\[
(1,3)
\]
-
Da \( g(x) = f(x-2) \), verschiebt sich der Graph um 2 Einheiten nach rechts.
-
Wendepunkt von \(g\):
\[
(3,3)
\]
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