Ableitungsaufgaben mit detaillierten Lösungen
Diese Seite präsentiert sorgfältig ausgewählte Aufgaben zu
Ableitungen von Funktionen, zusammen mit detaillierten Lösungen.
Das Ziel ist es, sowohl das konzeptionelle Verständnis als auch die rechnerische Geläufigkeit in der Analysis zu stärken.
Frage 1
Seien \( f \), \( g \) und \( H \) Funktionen, die wie folgt definiert sind:
\[
H(x) = (f g)(x)
\]
und
\[
f(1) = 36,\quad f'(-2) = 3,\quad f'(1) = 4,\quad g(1) = 9,\quad g'(1) = -1.
\]
Bestimmen Sie, ob die Steigung der Tangente an den Graphen von \( H \) an der Stelle \( x = 1 \) positiv, negativ oder null ist.
Lösung
-
Da \( H(x) = f(x)g(x) \) ist, wenden wir die Produktregel für ihre Ableitung an:
\[
H'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\]
-
Auswertung an der Stelle \( x = 1 \):
\[
H'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1)
\]
-
Einsetzen der gegebenen Werte:
\[
H'(1) = (4)(9) + (36)(-1) = 36 - 36 = 0
\]
-
Da die Ableitung an der Stelle \( x = 1 \) gleich null ist, ist die Steigung der Tangente null und die Tangente ist parallel zur \( x \)-Achse.
Frage 2
Sei
\[
f(x) = ax^2 + bx + c.
\]
Finden Sie die Werte von \( a \), \( b \) und \( c \), so dass
\[
f(0) = 3,\quad f'(1) = 1,\quad f''(2) = 4.
\]
Lösung
-
Mit \( f(0) = 3 \):
\[
a(0)^2 + b(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3
\]
-
Berechnung der Ableitungen:
\[
f'(x) = 2ax + b,\qquad f''(x) = 2a
\]
-
Mit \( f''(2) = 4 \):
\[
2a = 4 \Rightarrow a = 2
\]
-
Mit \( f'(1) = 1 \):
\[
2(2)(1) + b = 1 \Rightarrow b = -3
\]
-
Die Lösung ist:
\[
a = 2,\quad b = -3,\quad c = 3
\]
Frage 3
Sei \( f(x) = x^3 + x \) und sei \( g(x) = f^{-1}(x) \).
Finden Sie den Wert von \( g'(2) \).
Lösung
-
Da \( g(x) = f^{-1}(x) \) ist, gilt:
\[
f(g(x)) = x
\]
-
Beide Seiten mit der Kettenregel differenzieren:
\[
f'(g(x))\,g'(x) = 1
\]
-
Auswertung an der Stelle \( x = 2 \):
\[
f'(g(2))\,g'(2) = 1
\]
-
Da \( f(1) = 2 \), folgt daraus \( g(2) = 1 \)
-
Berechnung von \( f'(x) = 3x^2 + 1 \), daher:
\[
f'(1) = 4
\]
-
Somit:
\[
g'(2) = \frac{1}{4}
\]
Frage 4
Sei \( g(x) = f^{-1}(x) \) und \( h(x) = (g(x))^5 \).
Gegeben dass
\[
f(6) = 10,\quad f'(6) = 12,
\]
finden Sie \( h'(10) \).
Lösung
-
Ableitung von \( h(x) \):
\[
h'(x) = 5g'(x)g(x)^4
\]
-
Auswertung an der Stelle \( x = 10 \):
\[
h'(10) = 5g'(10)g(10)^4
\]
-
Da \( g(10) = f^{-1}(10) = 6 \)
-
Ableitung von \( f(g(x)) = x \):
\[
f'(g(x))g'(x) = 1
\]
-
Auswertung an der Stelle \( x = 10 \):
\[
f'(6)g'(10) = 1 \Rightarrow g'(10) = \frac{1}{12}
\]
-
Berechnung:
\[
h'(10) = 5\left(\frac{1}{12}\right)6^4 = 540
\]
Weitere Referenzen zur Analysis