Ableitungen von geraden und ungeraden Funktionen

Frage 1

Der Graph einer geraden Funktion \(f\) ist unten dargestellt:

Angenommen, \(f\) ist überall differenzierbar, welcher der Graphen A), B), C) oder D) stellt \(f'(x)\) dar?

Lösung:

Die gegebene Funktion ist gerade, also \[ f(x) = f(-x) \] Beide Seiten ableiten: \[ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}f(-x) \] Mit der Kettenregel, sei \(u = -x\): \[ \frac{d}{dx}f(-x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (-1) = -f'(-x) \] Einsetzen: \[ f'(x) = -f'(-x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = -f'(x) \] Dies beweist, dass die Ableitung einer geraden Funktion ungerade ist. Bei der Analyse der Graphen A)–D) sind nur A) und B) ungerade. Betrachtet man \(f\), so fällt es von seinem Maximum auf der linken Seite bis zum Ursprung ab, daher muss die Ableitung in diesem Intervall negativ sein. Folglich ist der richtige Graph B).

Frage 2

Der Graph einer ungeraden Funktion \(f\) ist unten dargestellt:

Angenommen, \(f\) ist überall differenzierbar, welcher der Graphen A), B), C) oder D) stellt \(f'(x)\) dar?

Lösung:

Die gegebene Funktion ist ungerade, also \[ f(x) = -f(-x) \] Beide Seiten ableiten: \[ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{d}{dx} f(-x) \] Mit der Kettenregel (\(u=-x\)): \[ \frac{d}{dx}f(-x) = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x) \] Einsetzen: \[ f'(x) = -(-f'(-x)) = f'(-x) \] Daher ist die Ableitung einer ungeraden Funktion gerade. Bei der Analyse der Graphen A)–D) sind nur C) und D) gerade. Betrachtet man \(f\) in der Nähe des Ursprungs, steigt sie an, also muss die Ableitung positiv sein. Folglich ist der richtige Graph C).