Lernen Sie, wie Sie jede Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen können. Schrittweise Beispiele werden in Form von Fragen mit detaillierten Lösungen bereitgestellt.
Zeigen Sie, dass jede Funktion \( f(x) \) als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden kann.
Wir können \( f(x) \) schreiben als: \[ f(x) = \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(-x) - \frac{1}{2} f(-x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) + \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] Sei \[ g(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) \] Überprüfen Sie, dass \( g(x) \) gerade ist: \[ g(-x) = \frac{1}{2} \big(f(-x) + f(x)\big) = g(x) \] Sei \[ h(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] Überprüfen Sie, dass \( h(x) \) ungerade ist: \[ h(-x) = \frac{1}{2} \big(f(-x) - f(x)\big) = -h(x) \] Daher gilt: \[ f(x) = g(x) + h(x) \] wobei \( g(x) \) gerade und \( h(x) \) ungerade ist.
Stellen Sie \[ f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 + x - 4 \] als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dar.
Da \( f(x) \) ein Polynom ist, können wir seine geraden und ungeraden Teile trennen: \[ f(x) = (2x^4 + 2x^2 - 4) + (-5x^3 + x) \] wobei \( 2x^4 + 2x^2 - 4 \) gerade und \( -5x^3 + x \) ungerade ist.
Stellen Sie \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \] als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dar und überprüfen Sie Ihre Antwort.
Aus Frage 1 kann jede Funktion \( f(x) \) dargestellt werden als: \[ f(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) + \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] Hier gilt: \[ g(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{-x-1}\right) = \frac{1}{x^2 - 1} \] \[ h(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{-x-1}\right) = \frac{x}{x^2 - 1} \] Überprüfung: \[ g(x) + h(x) = \frac{1}{x^2 - 1} + \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{1+x}{x^2-1} = \frac{1+x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} = f(x) \]