Umkehrfunktionen: Fragen mit detaillierten Lösungen

Diese Seite enthält sorgfältig ausgewählte Fragen zu Umkehrfunktionen mit vollständig durchgerechneten Lösungen und Erklärungen. Ziel ist es, sowohl die Rechenfertigkeiten als auch das konzeptionelle Verständnis von Umkehrfunktionen zu stärken.

Fragen und Lösungen

Frage 1

Finden Sie die Parameter \(a\) und \(b\) der linearen Funktion \[ f(x) = ax + b\] so dass \[ f^{-1}(2) = 3 \quad \text{und} \quad f^{-1}(-3) = 6.\]

Lösung

• Aus der Definition der Umkehrfunktion: \[ f^{-1}(2) = 3 \Rightarrow f(3) = 2, \quad f^{-1}(-3) = 6 \Rightarrow f(6) = -3.\]
• Einsetzen in \(f(x) = ax + b\): \[ 3a + b = 2, \quad 6a + b = -3.\]
• Das Lösen des Systems ergibt: \[ a = -\frac{5}{3}, \quad b = 7.\]

Frage 2

Gegeben ist, dass \( f(x) \) eine ungerade Funktion ist und

Finden Sie \(f^{-1}(3)\) und \(f^{-1}(-12)\).

Lösung

• Da \(f(1) = 3\), folgt daraus: \[ f^{-1}(3) = 1.\]
• Die Funktion \(f\) ist ungerade, also: \[ f(-2) = -f(2) = -12 \Rightarrow f^{-1}(-12) = -2.\]

Frage 3

Beweisen Sie, dass die Umkehrung einer invertierbaren ungeraden Funktion ebenfalls ungerade ist.

Lösung

• Nach Definition der Umkehrfunktionen: \[ f(f^{-1}(x)) = x.\]
• Ersetzen Sie \(x\) durch \(-x\): \[ f(f^{-1}(-x)) = -x.\]
• Da \(f\) ungerade ist: \[ f(-u) = -f(u),\] was impliziert: \[ f(-f^{-1}(-x)) = x.\]
• Durch Vergleich beider Ausdrücke: \[ f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x),\] was beweist, dass \(f^{-1}\) ungerade ist.

Frage 4

Sei \[ f(x) = \frac{1}{x - 2}.\] Finden Sie die Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und seiner Umkehrfunktion. Zeichnen Sie \(f\), \(f^{-1}\) und die Gerade \(y = x\).

Lösung

• Beginnen Sie mit: \[ y = \frac{1}{x - 2}.\]
• Vertauschen Sie \(x\) und \(y\): \[ x = \frac{1}{y - 2}.\]
• Lösen Sie nach \(y\) auf: \[ y = \frac{1}{x} + 2 = f^{-1}(x).\]
• Lösen Sie: \[ \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x} + 2.\] Dies ergibt: \[ x = 1 \pm \sqrt{2}.\]
• Die Schnittpunkte sind: \[ (1 + \sqrt{2},\, 1 + \sqrt{2}), \quad (1 - \sqrt{2},\, 1 - \sqrt{2}).\]

Frage 5

Zeichnen Sie die Funktion \[ f(x) = |x - 2| + 2x,\] finden Sie ihre Umkehrung und zeichnen Sie beide.

Lösung

• Für \(x < 2\): \[ f(x) = -(x - 2) + 2x = x + 2.\]
• Für \(x \ge 2\): \[ f(x) = (x - 2) + 2x = 3x - 2.\]

• Aus dem Graphen sind Beispielpunkte auf \(f\): \[ (-2,0),\ (2,4),\ (3,7).\]
• Entsprechende Punkte auf \(f^{-1}\) sind: \[ (0,-2),\ (4,2),\ (7,3).\]
• Das Auflösen nach der Umkehrung ergibt: \[ f^{-1}(x) = -\frac{1}{3}|x - 4| + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}.\]

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