Zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Fragen mit Antworten
Diese Seite präsentiert Analysis-Fragen mit detaillierten Lösungen, die auf dem
zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung basieren.
Theorem
Der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass wenn \( f \) auf einem Intervall
\( I \), das \( a \) enthält, stetig ist, und wenn
\[
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt
\]
dann gilt
\[
F'(x) = f(x)
\]
für alle \( x \in I \).
Frage 1
Approximieren Sie \( F'(\pi/2) \) auf drei Dezimalstellen, wenn
\[
F(x) = \int_3^x \sin(t^2)\,dt
\]
Lösung
-
Da \( \sin(t^2) \) für alle reellen \( t \) stetig ist, gilt der zweite Hauptsatz:
\[
F'(x) = \sin(x^2)
\]
-
Auswertung an der Stelle \( x = \pi/2 \):
\[
F'(\pi/2) = \sin\!\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right) \approx 0.624
\]
Frage 2
Sei
\[
F(x) = \int_0^x \frac{5}{3 + 2e^t}\,dt
\]
a) Finden Sie \( F'(0) \).
b) Zeigen Sie, dass \( F(1) < F(4) \) gilt.
Lösung
-
Da \( \frac{5}{3 + 2e^t} \) stetig ist, liefert der Satz:
\[
F'(x) = \frac{5}{3 + 2e^x}
\]
-
Auswertung an der Stelle \( x = 0 \):
\[
F'(0) = \frac{5}{3 + 2e^0} = \frac{5}{5} = 1
\]
-
Weil \( F'(x) > 0 \) für alle \( x \) gilt, ist die Funktion \( F \) streng monoton steigend.
Da \( 4 > 1 \) ist, folgt daraus
\[
F(1) < F(4)
\]
Frage 3
Sei
\[
F(x) = \int_{-1}^{x^2} \frac{1}{1+t^2}\,dt
\]
Finden Sie \( F'(x) \).
Lösung
-
Sei \( u = x^2 \). Dann
\[
F(u) = \int_{-1}^{u} \frac{1}{1+t^2}\,dt
\]
-
Nach dem zweiten Hauptsatz:
\[
\frac{dF}{du} = \frac{1}{1+u^2}
\]
-
Anwendung der Kettenregel:
\[
F'(x) = \frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx}
= \frac{1}{1+x^4}\cdot 2x
= \frac{2x}{1+x^4}
\]
Frage 4
Sei
\[
F(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt
\]
wobei \( f \) stetig ist und \( u \), \( v \) differenzierbare Funktionen von \( x \) sind.
Geben Sie \( F'(x) \) an.
Lösung
-
Schreiben Sie das Integral mit einer festen Konstanten \( a \) um:
\[
F(x) = -\int_a^{u(x)} f(t)\,dt + \int_a^{v(x)} f(t)\,dt
\]
-
Nach dem zweiten Hauptsatz:
\[
\frac{d}{du}\!\left(-\int_a^u f(t)\,dt\right) = -f(u),
\quad
\frac{d}{dv}\!\left(\int_a^v f(t)\,dt\right) = f(v)
\]
-
Anwendung der Kettenregel:
\[
F'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x))
\]
Weitere Analysis-Ressourcen