Diese Seite präsentiert Fragen zum Konzept der Stetigkeit und stetigen Funktionen in der Analysis, zusammen mit ihren Lösungen. Diese Fragen wurden entwickelt, um Ihnen zu helfen, ein tiefes Verständnis der Stetigkeit zu erlangen.
Wahr oder Falsch: Wenn eine Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) nicht definiert ist, dann ist sie an der Stelle \( x = a \) nicht stetig.
Antwort: Wahr. Siehe die Definition von stetigen Funktionen.
Wahr oder Falsch: Wenn \( f \) eine Funktion ist, für die gilt:
\[
\lim_{x \to a} f(x) \text{ existiert nicht},
\]
dann ist \( f \) an der Stelle \( x = a \) nicht stetig.
Antwort: Wahr. Damit \( f \) an der Stelle \( x = a \) stetig ist, muss \( \lim_{x \to a} f(x) \) existieren und gleich \( f(a) \) sein, und \( f \) muss an der Stelle \( x = a \) definiert sein.
Wahr oder Falsch: Alle Polynomfunktionen sind stetig.
Antwort: Wahr. Dies folgt aus dem Satz, dass alle Polynome überall stetig sind.
Wenn die Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) überall stetig sind, dann
(A) \( \frac{f}{g}(x) \) ist überall stetig.
(B) \( \frac{f}{g}(x) \) ist überall stetig, außer an den Nullstellen von \( g(x) \).
(C) Es werden weitere Informationen benötigt, um diese Frage zu beantworten.
Antwort: (B). Die Funktion \( \frac{f}{g}(x) \) ist an den Nullstellen von \( g(x) \) nicht definiert.
Wenn \( f(x) \) und \( g(x) \) überall stetig sind und
\[
f(1) = 2, \quad f(3) = -4, \quad f(4) = 8, \quad g(0) = 4, \quad g(3) = -6, \quad g(7) = 0,
\]
berechnen Sie \( \lim_{x \to 3} (f + g)(x) \).
(A) -10
(B) -11
(C) Kann nicht bestimmt werden
Antwort: (A). Da \( f \) und \( g \) stetig sind, gilt:
\[
\lim_{x \to 3} (f+g)(x) = \lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 3} g(x) = f(3) + g(3) = -4 + (-6) = -10.
\]
Die Aussage "Wenn \( f(x) = \sin x \), dann ist \( f \) stetig" ist wahr. Welche der folgenden Aussagen ist ebenfalls wahr?
(A) Wenn \( f(x) \neq \sin x \), dann ist \( f \) nicht stetig.
(B) Wenn \( f \) nicht stetig ist, dann gilt \( f(x) \neq \sin x \).
(C) Wenn \( f \) stetig ist, dann gilt \( f(x) = \sin x \).
Antwort: (B). Dies ist die Kontraposition der gegebenen Aussage. In der Logik ist die Kontraposition von "wenn \( p \) dann \( q \)" "wenn nicht \( q \) dann nicht \( p \)".
Wahr oder Falsch: Wenn \( f(x) \) überall stetig ist, dann ist \( |f(x)| \) überall stetig.
Antwort: Wahr. Dies folgt aus dem Satz über die Verkettung stetiger Funktionen: Sowohl \( f(x) \) als auch \( |x| \) sind überall stetig.
Wahr oder Falsch: Wenn \( f(x) \) überall stetig ist, dann ist \( \sqrt{f(x)} \) überall stetig.
Antwort: Falsch. \( \sqrt{f(x)} \) ist nur dort stetig, wo \( f(x) \ge 0 \) gilt.
Wahr oder Falsch: Wenn die Verkettung \( f \circ g \) an der Stelle \( x = a \) nicht stetig ist, dann ist entweder \( g \) an der Stelle \( x = a \) nicht stetig oder \( f \) ist an der Stelle \( g(a) \) nicht stetig.
Antwort: Wahr. Dies ist eine Folge des Satzes über die Verkettung stetiger Funktionen.
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