Kritische Zahlen von Funktionen

Fragen zu den kritischen Zahlen von Funktionen werden unten vorgestellt. Diese Fragen sollen Ihnen helfen, ein tiefes Verständnis für kritische Zahlen in der Analysis zu erlangen. Antworten werden ebenfalls bereitgestellt.

Fragen und Lösungen

Frage 1

Eine kritische Zahl \(c\) einer Funktion \(f\) ist eine Zahl im Definitionsbereich von \(f\), für die gilt:

Antwort: (C)

Frage 2

Wahr oder Falsch: Die Funktion \(f(x) = |x|\) hat keine kritischen Punkte.
Antwort: Falsch. Die Ableitung ist \[ f'(x) = \frac{x}{|x|} \] welche bei \(x = 0\) nicht definiert ist. Daher ist \(x = 0\) ein kritischer Punkt.

Frage 3

Wahr oder Falsch: Wenn \(c\) eine kritische Zahl ist, dann ist \(f(c)\) entweder ein lokales Maximum oder Minimum.
Antwort: Falsch. Zum Beispiel hat \(f(x) = x^3\) eine kritische Zahl bei \(x = 0\), aber \(f(0)\) ist weder ein lokales Maximum noch ein Minimum.

Frage 4

Wahr oder Falsch: Wenn \(c\) keine kritische Zahl ist, dann ist \(f(c)\) weder ein lokales Minimum noch Maximum.
Antwort: Wahr. Dies ist die Kontraposition des Satzes von Fermat: Wenn \(f(c)\) ein lokales Maximum oder Minimum ist, dann muss \(c\) eine kritische Zahl sein.

Frage 5

Die Werte des Parameters \(a\), für die die Funktion \[ f(x) = x^3 + ax^2 + 3x \] zwei verschiedene kritische Zahlen hat, liegen im Intervall:

Antwort: D Ableitung: \[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3 \] Löse \(f'(x) = 0\), um kritische Zahlen zu finden. Die Diskriminante ist \[ D = (2a)^2 - 4(3)(3) = 4a^2 - 36 \] \(D > 0\) für \(a \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\), was zwei verschiedene Lösungen ergibt.

Frage 6

Wenn \(f(x)\) einen kritischen Punkt bei \(x = c\) hat, dann:

Antwort: (E) Eine horizontale Verschiebung des Graphen verschiebt auch den kritischen Punkt. Eine horizontale Streckung/Stauchung um \(k\) skaliert den kritischen Punkt mit \(\frac{1}{k}\).

Weitere Referenzen zur Analysis: Fragen mit Antworten und Tutorials und Probleme.