Hier sind Übungsfragen zu den zwei Fundamentalsätzen der Analysis. Diese Aufgaben helfen Ihnen, diese Theoreme besser zu verstehen und anzuwenden. Es kann hilfreich sein, die Theoreme vorher zu wiederholen.
Wahr oder Falsch: Der zweite Fundamentalsatz der Analysis besagt, dass wenn \[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \] dann gilt \[ F'(x) = f(x). \]
Antwort: Wahr.
Wahr oder Falsch: Wenn \[ F(x) = \int_{-2}^{3x} \sin(t) \, dt \] dann kann der zweite Fundamentalsatz der Analysis verwendet werden, um \(F'(x)\) zu berechnen als \[ F'(x) = \sin(3x). \]
Antwort: Falsch. Beachten Sie, dass die obere Grenze im Integral \(3x\) ist, nicht \(x\), daher hat das Integral die Form \[ F(x) = \int_{-2}^{u(x)} f(t) \, dt. \] Mit der Kettenregel erhalten wir \[ F'(x) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3 \sin(3x). \]
Wahr oder Falsch: Mit dem ersten Fundamentalsatz der Analysis \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), \] können wir \[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx = -2 \] berechnen.
Antwort: Falsch. Das Integrationsintervall \([-1, 1]\) enthält 0, wo \( \frac{1}{x^2} \) unstetig ist. Daher kann der Satz in diesem Fall nicht angewendet werden.
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