Um Radikalausdrücke zu addieren und subtrahieren, müssen Sie "gleichartige" Radikale identifizieren. Dieser Vorgang ist identisch mit dem Zusammenfassen gleichartiger Terme in der Polynom-Algebra.
Benötigen Sie eine Wiederholung der Grundlagen? Starten Sie mit unserer Einführung in Radikale.
Definition von gleichartigen Radikalen
Radikalausdrücke werden nur dann als gleichartig betrachtet, wenn sie exakt denselben Index und denselben Radikanden besitzen.
- \( 6 \sqrt[3]{5} \) und \( -5 \sqrt[3]{5} \) sind gleichartig (Index: 3, Radikand: 5).
- \( 7 \sqrt[3]{8} \) und \( -5 \sqrt[3]{9} \) sind nicht gleichartig (Radikanden 8 und 9 sind verschieden).
- \( 3 \sqrt{2x} \) und \( -5 \sqrt{2x} \) sind gleichartig (Index: 2, Radikand: \(2x\)).
Grundlegende Beispiele für Addition & Subtraktion
Nur gleichartige Radikale können addiert oder subtrahiert werden, indem man das gemeinsame Radikal ausklammert und die Koeffizienten zusammenfasst.
Beispiel 1: \( 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \)
Beispiel 2: \( 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \)
Beispiel 3: \( -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \)
Beispiel 4: \( -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \)
Ungleichartige Radikale umformen
Wenn Radikanden unterschiedlich sind, vereinfachen Sie diese zuerst durch Herausziehen von perfekten Quadraten (oder Kubikzahlen), um zu sehen, ob sie in gleichartige Radikale umgewandelt werden können.
Beispiel 5: \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \)
Beispiel 6: \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)
Primfaktorzerlegung von 12 und 108: \(12 = 2^2 \cdot 3\) und \(108 = 2^2 \cdot 3^3\).
\[ -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \]Beispiel 7: \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \)
Übungsaufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1: \( -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
Aufgabe 2: \( 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
Aufgabe 3: \( -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)
Vereinfachen: \(32 = 2 \cdot 16\), \(50 = 2 \cdot 25\), \(200 = 2 \cdot 100\).
\[ -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]