Fragen zum Addieren und Subtrahieren von Wurzelausdrücken mit Lösungen

Fragen der 10. Klasse zum Addieren und Subtrahieren von Ausdrücken mit Wurzeln und deren Lösungen werden vorgestellt.

Definition

Wurzelausdrücke sind gleichartig, wenn sie den gleichen Exponenten (Wurzelexponenten) und den gleichen Radikanden (Ausdruck unter der Wurzel) haben.
Beispiele
\[ 1) \; 6 \sqrt[3]{5} \quad \text{und} \quad -5 \sqrt[3]{5} \] sind gleichartige Wurzeln, weil sie den gleichen Exponenten (Wurzelexponent 3) und den gleichen Radikanden (Zahl unter der Wurzel, welche 5 ist) haben. \[ 2)\; 7 \sqrt[3]{8} \quad \text{und} \quad -5 \sqrt[3]{9} \] sind nicht gleichartig, weil sie unterschiedliche Radikanden (8 und 9) haben. \[ 3)\; 3 \sqrt{2x} \quad \text{und} \quad -5 \sqrt{2x} \] sind gleichartig, weil sie den gleichen Exponenten (2 für Quadratwurzel) und den gleichen Radikanden \(2 x\) haben.

Gleichartige Wurzeln addieren und subtrahieren

Nur gleichartige Wurzeln dürfen addiert oder subtrahiert werden.

Beispiele

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke \[ 1)\; 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \] \[2)\; 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \] \[3)\; -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \] \[4)\; -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \]

Lösungen zu den obigen Beispielen

Die obigen Ausdrücke werden vereinfacht, indem zuerst die gleichartigen Wurzeln ausgeklammert und dann addiert/subtrahiert werden. \[ 1)\; 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}(4+7) = 11\sqrt[3]{5} \] \[2)\; 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13} = \sqrt{13}(9-11) = -2\sqrt{13} \] \[3)\; -8\sqrt[4]{2x+1} + 6\sqrt[4]{2x+1} = \sqrt[4]{2x+1}(-8+6) = -2\sqrt[4]{2x+1} \] \[4)\; -\sqrt{2xy} - 4\sqrt{2xy} + 23\sqrt{2xy} = \sqrt{2xy}(-1-4+23) = 18\sqrt{2xy} \]

Weitere Beispiele

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke \[ 1) \; 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \] \[ 2) \; 5\sqrt[3]{81} - 6\sqrt[3]{3} \] \[ 3) \; -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \] \[ 4) \; -\sqrt{20x} - 4\sqrt{45x} \] \[ 5) \; \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \]

Lösungen zu den obigen Beispielen

Die obigen Ausdrücke werden vereinfacht, indem zuerst die nicht-gleichartigen Wurzeln in gleichartige umgewandelt und dann addiert/subtrahiert werden.
1) \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} \) \[ = 4\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} - 6\sqrt{2} \] \[ = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] 2) \( 5\sqrt[3]{81} - 6\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{27 \cdot 3} - 6\sqrt[3]{3} \) \[ = 5\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} \] \[ = 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} \] \[ = 15\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} = 9\sqrt[3]{3} \]
3) \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)
Wenn es nicht offensichtlich ist, einen gemeinsamen Radikanden aus zwei verschiedenen Radikanden zu erhalten, zerlege man sie in Primzahlen. Zerlegen Sie 12 und 108 wie folgt in Primfaktoren. \[ 12 = 2^2 \cdot 3 \quad \text{und} \quad 108 = 2^2 \cdot 3^3 \] Wir ersetzen nun 12 und 108 durch ihre Primfaktoren und vereinfachen: \[ -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} = -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^3} \] \[ = -4 \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} + 12 \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^3} \] \[ = -4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 12 \cdot 2 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 24 \cdot 3\sqrt{3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \] 4) \( -\sqrt{20x} - 4\sqrt{45x} = -\sqrt{2^2 \cdot 5x} - 4\sqrt{3^2 \cdot 5x} \) \[ = -2\sqrt{5x} - 4 \cdot 3\sqrt{5x} = -2\sqrt{5x} - 12\sqrt{5x} = -14\sqrt{5x} \]
5) \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{2^4(x+1)} \) \[ = \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1} \]

Fragen mit Lösungen

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke

  1. \( \quad -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
  2. \( \quad 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
  3. \( \quad -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)
  4. \( \quad 2\sqrt{4x}-3\sqrt{x} \)
  5. \( \quad -\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}} \)
  6. \( \quad 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2} \)
  7. \( \quad 2\sqrt[3]{40x^3}-5x\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{135x^3} \)
  8. \( \quad (7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2 \)

Lösungen zu den obigen Fragen

  1. \[ -2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20 \]
  2. \[ 20\sqrt{7} - 2\sqrt{28} - 7 = 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7 \] \[ = 20\sqrt{7} - 2 \cdot 2\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7 \]
  3. \[ -\sqrt{32} - 2\sqrt{50} + 3\sqrt{200} = -\sqrt{2 \cdot 16} - 2\sqrt{2 \cdot 25} + 3\sqrt{2 \cdot 100} \] \[ = -4\sqrt{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + 3 \cdot 10\sqrt{2} \] \[ = -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]
  4. \[ 2\sqrt{4x} - 3\sqrt{x} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} - 3\sqrt{x} \] \[ = 2 \cdot 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = \sqrt{x} \]
  5. \[ -\sqrt{\frac{28}{9}} + 3\sqrt{\frac{63}{25}} = -\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{9}} + 3\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{25}} \] \[ = -\frac{\sqrt{2^2 \cdot 7}}{3} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3^2 \cdot 7}}{5} = -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5} \] \[ = \sqrt{7} \left( -\frac{2}{3} + \frac{9}{5} \right) = \sqrt{7} \left( \frac{-10}{15} + \frac{27}{15} \right) = \sqrt{7} \cdot \frac{17}{15} = \frac{17}{15} \sqrt{7} \]
  6. \[ 2\sqrt{3x^2} - 5\sqrt{12x^2} = 2\sqrt{3x^2} - 5\sqrt{4 \cdot 3x^2} \] \[ = 2\sqrt{3} \cdot |x| - 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot |x| = 2|x|\sqrt{3} - 10|x|\sqrt{3} = -8|x|\sqrt{3} \]
  7. \[ 2\sqrt[3]{40x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{135x^3} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{27 \cdot 5x^3} \] \[ = 2\sqrt[3]{2^3 \cdot 5x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3^3 \cdot 5x^3} \] \[ = 2 \cdot 2x\sqrt[3]{5} - 5x\sqrt[3]{5} + 3x\sqrt[3]{5} = 4x\sqrt[3]{5} - 5x\sqrt[3]{5} + 3x\sqrt[3]{5} = 2x\sqrt[3]{5} \]
  8. \[ (7\sqrt{3x} - 11\sqrt{27x})^2 = (7\sqrt{3x} - 11\sqrt{9 \cdot 3x})^2 \] \[ = (7\sqrt{3x} - 11 \cdot 3\sqrt{3x})^2 = (7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x})^2 \] \[ = (-26\sqrt{3x})^2 = (-26)^2 \cdot (\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x \]

Weitere Referenzen und Links