Algebra-Aufgaben für die 10. Klasse

26 Übungsaufgaben mit Antworten und Videolösungen

Die folgenden Algebra-Aufgaben sind für Schüler der 10. Klasse konzipiert. Sie decken das Vereinfachen von Ausdrücken, Faktorisieren, Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen sowie das Arbeiten mit Funktionen ab. Verwenden Sie die interaktiven Boxen unten, um die detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen anzuzeigen.

Aufgaben 1 - 10

Aufgabe 1: Welche reellen Zahlen sind gleich ihren Kubikzahlen?

Stellen Sie die Gleichung \( x^3 = x \) auf.

Subtrahieren Sie \( x \) von beiden Seiten: \( x^3 - x = 0 \).

Klammern Sie \( x \) aus: \( x(x^2 - 1) = 0 \).

Faktorisieren Sie die Differenz der Quadrate: \( x(x - 1)(x + 1) = 0 \).

Antwort: 0, 1, -1

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Aufgabe 2: Schreiben Sie \( 4 \times 10^{-2} \) als Dezimalzahl.

Der Exponent \(-2\) bedeutet, dass das Komma um 2 Stellen nach links verschoben wird.

Antwort: 0,04

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Aufgabe 3: Schreiben Sie \( 0,12 \times 10^{-3} \) als Dezimalzahl.

Der Exponent \(-3\) bedeutet, dass das Komma von seiner aktuellen Position in 0,12 um 3 Stellen nach links verschoben wird.

Antwort: 0,00012

Aufgabe 4: Schreiben Sie \( 2 \log_3 x + \log_3 5 \) als einen einzigen Logarithmus.

Verwenden Sie die Potenzregel für Logarithmen \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \):
\( 2 \log_3 x = \log_3(x^2) \)

Verwenden Sie die Produktregel für Logarithmen \( \log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \cdot n) \):
\( \log_3(x^2) + \log_3 5 = \log_3(5x^2) \)

Antwort: \( \log_3(5x^2) \)

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Aufgabe 5: Faktorisieren Sie \( 6x^2 - 21xy + 8xz - 28yz \).

Faktorisieren durch Gruppieren:
\( (6x^2 - 21xy) + (8xz - 28yz) \)

Klammern Sie den gemeinsamen Faktor aus:
\( 3x(2x - 7y) + 4z(2x - 7y) \)

Klammern Sie das gemeinsame Binom \( (2x - 7y) \) aus:

Antwort: \( (2x - 7y)(3x + 4z) \)

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Aufgabe 6: Faktorisieren Sie \( (x - 1)^2 - (y - 2)^2 \).

Verwenden Sie die dritte binomische Formel \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) mit \( A = (x - 1) \) und \( B = (y - 2) \):

\( [ (x - 1) - (y - 2) ] [ (x - 1) + (y - 2) ] \)

Vereinfachen:
\( (x - 1 - y + 2)(x - 1 + y - 2) \)

Antwort: \( (x - y + 1)(x + y - 3) \)

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Aufgabe 7: Faktorisieren Sie \( x^2 - z^4 \).

Schreiben Sie \( z^4 \) als \( (z^2)^2 \):

\( x^2 - (z^2)^2 \)

Wenden Sie die dritte binomische Formel an:

Antwort: \( (x - z^2)(x + z^2) \)

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Aufgabe 8: Berechnen Sie \( |-2 x - y + 3| \) für \( x = 3 \) und \( y = 5 \).

Setzen Sie die Werte ein:

\( |-2(3) - 5 + 3| \)
\( = |-6 - 5 + 3| \)
\( = |-8| \)

Antwort: 8

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Aufgabe 9: Vereinfachen Sie \( -2(x - 3) + 4(-2 x + 8) \).

Multiplizieren Sie aus:

\( -2x + 6 - 8x + 32 \)

Fassen Sie zusammen:

Antwort: \( -10x + 38 \)

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Aufgabe 10: Erweitern und vereinfachen Sie \( (x + 3)(x - 3) - (-x - 9) \).

Multiplizieren Sie \( (x + 3)(x - 3) \):

\( x^2 - 9 \)

Berücksichtigen Sie das Minuszeichen:

\( x^2 - 9 + x + 9 \)

Antwort: \( x^2 + x \)

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Aufgaben 11 - 20

Aufgabe 11: Welches Gesetz beschreibt \( a(x + y) = a x + a y \)?

Antwort: Distributivgesetz

Aufgabe 12: Vereinfachen Sie \( \frac{8x^3}{2x^{-3}} \).

Koeffizienten dividieren: \( 8 / 2 = 4 \).

Exponentenregel \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} \):
\( x^{3 - (-3)} = x^6 \)

Antwort: \( 4x^6 \)

Aufgabe 13: Vereinfachen Sie \( (-a^2b^3)^2(c^2)^0 \).

\( (c^2)^0 = 1 \). Quadrieren des ersten Teils:
\( (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = a^4b^6 \)

Antwort: \( a^4b^6 \)

Aufgabe 14: Für welchen Wert von \( k \) liegt der Punkt \( (-2, k) \) auf \( -3 x + 3 y = 4 \)?

\( -3(-2) + 3k = 4 \Rightarrow 6 + 3k = 4 \Rightarrow 3k = -2 \)

Antwort: \( k = -2/3 \)

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Aufgabe 15: Für welchen Wert von \( a \) hat das System keine Lösung? \( \{2x+6y=-2; -3x+ay=4\} \)

Die Steigungen müssen gleich sein: Steigung 1 = -1/3, Steigung 2 = 3/a.

\( -1/3 = 3/a \Rightarrow a = -9 \)

Antwort: \( a = -9 \)

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Aufgabe 16: Finden Sie die Gleichung für: (0,-4), (4,-20), (-4,12), (8,-36).

Steigung \( m = -4 \), y-Achsenabschnitt \( b = -4 \).

Antwort: \( y = -4x - 4 \)

Aufgabe 17: Welche Formel repräsentiert die Fläche eines Rechtecks mit \( (x + 1) \) und \( (x - 1) \)?

\( \text{Fläche} = (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 \)

Antwort: \( x^2 - 1 \)

Aufgabe 18: Welche Gerade enthält (1, -1) und (3, 5)?

Steigung \( m = 3 \). Punkt-Steigungs-Form ergibt \( y = 3x - 4 \).

Antwort: \( y = 3x - 4 \) (bzw. \( 2y = 6x - 8 \))

Aufgabe 19: Lösen Sie 2|3x - 2| - 3 = 7.

|3x - 2| = 5. Fälle: 3x-2=5 (x=7/3) oder 3x-2=-5 (x=-1).

Antwort: \( \{ 7/3, -1 \} \)

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Aufgabe 20: Lösen Sie nach \( x \) auf: \( (1/2) x^2 + mx - 2 = 0 \).

Mit der quadratischen Formel: \( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 4}}{1} \)

Antwort: \( \{ -m \pm \sqrt{m^2 + 4} \} \)

Aufgaben 21 - 26

Aufgabe 21: Finden Sie k für -x^2 + 2 k x - 4 = 0 (eine reelle Lösung).

Diskriminante \( D = 4k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \).

Antwort: \( k = 2, k = -2 \)

Aufgabe 22: Finden Sie b für x^2 - 4x + 4 b = 0 (zwei reelle Lösungen).

\( D = 16 - 16b > 0 \Rightarrow 1 > b \).

Antwort: \( b < 1 \)

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Aufgabe 23: Finden Sie die Werte von f(x) = -x^2 + 7 für x \in {1, 5, 7, 12}.

Einsetzen ergibt: 6, -18, -42, -137.

Antwort: \( \{6, -18, -42, -137\} \)

Aufgabe 24: Rechteck: Umfang = 160 cm, Länge = 3 × Breite.

160 = 2(3W) + 2W = 8W. Breite = 20, Länge = 60.

Antwort: Breite = 20 cm, Länge = 60 cm

Aufgabe 25: Vereinfachen Sie: |- x| + |3 x| - |- 2 x| + 3|x|.

\( |x| + 3|x| - 2|x| + 3|x| = 5|x| \).

Antwort: \( 5|x| \)

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Aufgabe 26: Wenn (x^2 - y^2) = 10 und (x + y) = 2, finden Sie x und y.

x - y = 5. Lösen des Systems x+y=2 und x-y=5 ergibt x = 3,5 und y = -1,5.

Antwort: \( x = 3,5, y = -1,5 \)

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