Aufgabe 1
Jede Seite der unten gezeigten quadratischen Pyramide misst $10$ Zoll. Die Seitenhöhe, $H$, dieser Pyramide misst $12$ Zoll.
- Wie groß ist die Fläche der Grundfläche der Pyramide in Quadratzoll?
- Wie groß ist die gesamte Oberfläche der Pyramide in Quadratzoll?
- Wie groß ist $h$, die Höhe der Pyramide, in Zoll?
- Wie groß ist das Volumen der Pyramide in Kubikzoll unter Verwendung der in Teil (c) ermittelten Höhe?
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a) Fläche eines Quadrats: $10 \times 10 = 100$ Quadratzoll.
b) Gesamtoberfläche = Grundfläche + 4 Dreiecke:
$$100 + 4 \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \right) = 340 \text{ Quadratzoll.}$$
c) Anwendung des Satzes des Pythagoras mit der Seitenhöhe und der halben Grundseite:
$$h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \text{ Zoll.}$$
d) Volumen:
$$\text{Volumen} = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} \approx 363,6 \text{ Kubikzoll.}$$
Aufgabe 2
Das in der Abbildung unten gezeigte Parallelogramm hat einen Umfang von $44$ cm und einen Flächeninhalt von $64$ cm2. Finden Sie den Winkel $T$ in Grad.
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Aufstellen der Umfangsgleichung:
$$44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4)$$
Lösen nach $x$:
$$x = 2$$
Die Basislänge ist $5(2) + 4 = 14$. Die schräge Seite ist $3(2) + 2 = 8$.
Berechnen der Höhe des Parallelogramms unter Verwendung der Fläche:
$$\text{Höhe} = \frac{\text{Fläche}}{\text{Basis}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ cm}$$
Verwendung von Trigonometrie zur Bestimmung von Winkel $T$:
$$\sin(T) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7}$$
$$T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34,8^\circ$$
Aufgabe 3
Berechnen Sie den Flächeninhalt des in der Abbildung dargestellten Vierecks. (HINWEIS: Die Figur ist nicht maßstabsgetreu gezeichnet)
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Das Dreieck $\triangle ABD$ ist ein rechtwinkliges Dreieck; daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:
$$BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$$
Prüfen Sie bei Dreieck $\triangle BCD$, ob es rechtwinklig ist, indem Sie die Quadratsumme der kürzeren Seiten bilden:
$$BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 441 + 9 = 450$$
Da $BC^2 + CD^2 = BD^2$, ist das Dreieck $\triangle BCD$ ebenfalls rechtwinklig.
Der gesamte Flächeninhalt des Vierecks ist die Summe der Flächeninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke:
$$\text{Fläche} = \left(\frac{1}{2} \times 15 \times 15\right) + \left(\frac{1}{2} \times 21 \times 3\right) = 112,5 + 31,5 = 144$$
Aufgabe 4
In der Abbildung unten hat das Dreieck OAB einen Flächeninhalt von $72$ Einheiten im Quadrat und das Dreieck ODC einen Flächeninhalt von $288$ Einheiten im Quadrat. Finden Sie $x$ als Länge der Strecke BC und $y$ als Länge der Strecke AD.
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Verwenden Sie die Sinusformel für den Flächeninhalt eines Dreiecks für $\triangle OAB$:
$$\text{Fläche } \triangle OAB = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB$$
Da $OA = 18$ und $OB = 16$, lösen Sie nach $\sin(\angle AOB)$ auf:
$$\sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{18 \cdot 16} = \frac{1}{2}$$
Da $\angle DOC$ und $\angle AOB$ Scheitelwinkel sind, ist $\sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}$.
Berechnen Sie nun die Fläche von $\triangle ODC$:
$$\text{Fläche } \triangle ODC = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC$$
$$288 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (18 + y)(16 + x)$$
$$1152 = (18 + y)(16 + x)$$
Die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis. Nach dem Sehnensatz:
$$OA \cdot OD = OB \cdot OC$$
$$18(18 + y) = 16(16 + x)$$
Wir haben nun ein Gleichungssystem:
1) $(18 + y)(16 + x) = 1152$
2) $18(18 + y) = 16(16 + x) \Rightarrow (18 + y) = \frac{8}{9}(16 + x)$
Einsetzen von Gleichung 2 in Gleichung 1:
$$\left(\frac{8}{9}(16 + x)\right)(16 + x) = 1152$$
$$(16 + x)^2 = 1152 \times \frac{9}{8} = 1296$$
$$16 + x = 36 \Rightarrow x = 20$$
Einsetzen von $x = 20$ in Gleichung 2:
$$18 + y = \frac{8}{9}(16 + 20) = \frac{8}{9}(36) = 32$$
$$y = 14$$
Aufgabe 5
Finden Sie die Maße eines Rechtecks, dessen Länge $3$ Meter mehr als seine Breite beträgt und dessen Umfang dem Wert seiner Fläche entspricht.
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Sei $L$ die Länge und $W$ die Breite des Rechtecks. Gegeben: $L = W + 3$
Umfang: $2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6$
Fläche: $LW = (W + 3)W = W^2 + 3W$
Da Fläche und Umfang den gleichen Zahlenwert haben:
$$W^2 + 3W = 4W + 6$$
Lösen der quadratischen Gleichung:
$$W^2 - W - 6 = 0$$
$$(W - 3)(W + 2) = 0$$
Die Breite kann nicht negativ sein, also $W = 3$. Einsetzen zur Bestimmung der Länge:
$$L = 3 + 3 = 6$$
Antwort: Breite = $3$ Meter, Länge = $6$ Meter.
Aufgabe 6
Finden Sie den Umfang einer Kreisscheibe, deren Fläche $100 \pi$ Quadratzentimeter beträgt.
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Sei $r$ der Radius der Scheibe. Die Fläche ist $100\pi$; daher:
$$100\pi = \pi r^2$$
Lösen nach $r$:
$$r = 10$$
Der Umfang ist:
$$C = 2\pi r = 20\pi \text{ cm}$$
Aufgabe 7
Ein Halbkreis mit einer Fläche von $1250 \pi$ Quadratzentimetern ist in ein Rechteck eingeschrieben. Der Durchmesser des Halbkreises fällt mit der Länge des Rechtecks zusammen. Finden Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.
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Sei $r$ der Radius des Halbkreises. Die Fläche ist:
$$1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2$$
Lösen nach $r$:
$$2500 = r^2 \Rightarrow r = 50$$
Die Länge des Rechtecks ist $2r = 100$ (da der Halbkreis eingeschrieben ist).
Die Breite des Rechtecks ist $r = 50$.
Die Fläche des Rechtecks ist:
$$\text{Fläche} = 100 \times 50 = 5000 \text{ cm}^2$$