Aufgabe 1
Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:
a) \( \begin{cases} -2(x - 2) + (-y - 3) = 3 \\ 2(x + 3) - 3(y - 2) = 10 \end{cases} \)
b) \( \begin{cases} \dfrac{x - 1}{3} + y = 5 \\ 2(x + 3) - \dfrac{y}{5} = 7 \end{cases} \)
c) \( \begin{cases} (x - 1)^2 + y = -1 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \)
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Lösung a: Klammern ausmultiplizieren: \( -2x+4-y-3=3 \rightarrow -2x-y=2 \) (Gl. I) und \( 2x+6-3y+6=10 \rightarrow 2x-3y=-2 \) (Gl. II). Addition von (I) und (II): \( -4y = 0 \rightarrow y = 0 \). Einsetzen: \( -2x-0=2 \rightarrow x = -1 \). Endergebnis: (-1, 0).
Lösung b: Multiplikation mit 3 bzw. 5: \( x-1+3y=15 \rightarrow x+3y=16 \) (I) und \( 10(x+3)-y=35 \rightarrow 10x-y=5 \) (II). Multiplikation von (II) mit 3: \( 30x-3y=15 \). Addition mit (I): \( 31x=31 \rightarrow x=1 \). Einsetzen: \( 1+3y=16 \rightarrow y=5 \). Endergebnis: (1, 5).
Lösung c: (II) nach \( y \) auflösen: \( y = 2x-3 \). Einsetzen in (I): \( (x-1)^2 + (2x-3) = -1 \rightarrow x^2-1=0 \). Also \( x = 1 \) oder \( x = -1 \). Endergebnis: (1, -1) und (-1, -5).
Aufgabe 2
Erweitern und vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) \( -(x + 2)(x - 1) + (x - 2)^2 \)
b) \( (x - 2)(x^2 + 3x - 3) - (x - 1)(x + 1) \)
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Lösung a: Ausmultiplizieren: \( (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \) und \( (x-2)^2 = x^2-4x+4 \). Zusammenfassen: \( -x^2-x+2 + x^2-4x+4 = -5x+6 \). Endergebnis: -5x+6.
Lösung b: Kubische Ausdehnung: \( x^3+3x^2-3x - 2x^2-6x+6 = x^3+x^2-9x+6 \). Subtraktion von \( (x^2-1) \): \( x^3-9x+7 \). Endergebnis: x³-9x+7.
Aufgabe 3
Faktorisieren Sie die folgenden Ausdrücke vollständig:
a) \( 3x^3 + 6x^2 \)
b) \( (x - 3)(x^2 + 3x + 2) - (x - 3)(x + 1) \)
c) \( 81x^2 - 16y^2 \)
d) \( -6x^2 + 7x - 2 \)
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Lösung a: Gemeinsamer Faktor \( 3x^2 \). Ergebnis: 3x²(x + 2).
Lösung b: Ausklammern von \( (x-3) \): \( (x-3)(x^2+2x+1) \). Anwendung der binomischen Formel ergibt: (x - 3)(x + 1)².
Lösung c: Dritte binomische Formel: (9x - 4y)(9x + 4y).
Lösung d: Faktorisierung ergibt: -(2x - 1)(3x - 2).
Aufgabe 4
Gegeben ist die quadratische Funktion \( f(x) = -2x^2 - 2x + 4 \), bestimmen Sie:
a) Den Scheitelpunkt mittels quadratischer Ergänzung.
b) Die x-Schnittpunkte und den y-Schnittpunkt.
c) Die Gleichung der Symmetrieachse.
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Lösung a: Umformung ergibt \( f(x) = -2(x+0,5)^2 + 4,5 \). Scheitelpunkt: (-0,5, 4,5).
Lösung b: y-Schnittpunkt: \( f(0) = \mathbf{4} \). x-Schnittpunkte durch Lösen von \( -2(x+2)(x-1)=0 \): x = 1, x = -2.
Lösung c: Symmetrieachse: x = -0,5.
Aufgabe 5
Bestimmen Sie die fehlenden Werte in den Tabellen (Direkte/Inverse Proportionalität):
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Tabelle a: Direkte Proportionalität \( y = 6x \). Für \( x=0,2 \), ist \( y = \mathbf{1,2} \).
Tabelle b: Inverse Proportionalität \( xy = 0,2 \). Für \( x=20 \), ist \( y = \mathbf{0,01} \).
Tabelle c: Keine konstante Proportionalität erkennbar.
Aufgabe 6
Berechnen Sie die Längen der unbekannten Seiten und die Maße aller Winkel im rechtwinkligen Dreieck.
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Satz des Pythagoras: \( (2x+1)^2 + 12^2 = (4x-1)^2 \). Nach Lösen ergibt sich x = 4.
Seiten: 9, 12, 15.
Winkel: ca. 36,87° und 53,13°.
Aufgabe 7
Winkel \( \alpha \) ist ein spitzer Winkel mit \( \sin \alpha = 0,6 \). Berechnen Sie \( \cos \alpha \) und \( \tan \alpha \).
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Mit \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \( \cos \alpha = 0,8 \).
\( \tan \alpha = \sin/\cos = 0,6/0,8 = \mathbf{0,75} \).
Aufgabe 8
Parallele Geraden \( BE \parallel CD \). Berechnen Sie \( x \) (Strecke CD) und \( y \) (Strecke DE).
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Ähnlichkeitssatz: \( \triangle ABE \sim \triangle ACD \).
x: \( 10/12 = 6/x \rightarrow \mathbf{x = 7,2} \).
y: \( 11/(11+y) = 6/7,2 \rightarrow \mathbf{y = 2,2} \).
Aufgabe 9
Im Dreieck ABC sind \( c=14 \) cm, \( a=10 \) cm und \( \angle C = 49^\circ \). Berechnen Sie die restlichen Winkel und Seiten.
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Sinussatz: \( \sin A \approx 0,539 \rightarrow A \approx \mathbf{32,62^\circ} \).
\( B = 180^\circ - (49^\circ + 32,62^\circ) = \mathbf{98,38^\circ} \).
Seite \( b \approx \mathbf{18,35 \text{ cm}} \).
Aufgabe 10
Bestimmen Sie \( A \) und \( B \) in \( Ax + By = 1 \), wenn die Gerade durch \( (1, 5) \) verläuft und den y-Achsenabschnitt \( y = 3 \) hat.
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y-Achsenabschnitt (0,3) ergibt \( B = 1/3 \). Einsetzen des Punktes (1,5) ergibt \( A = -2/3 \).
Aufgabe 11
Mischungsaufgabe: 5 Liter einer 45%-igen Schwefelsäurelösung aus 20% und 55% Lösungen herstellen. Wie viele Liter werden benötigt?
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Gleichungssystem: \( x+y=5 \) und \( 0,2x+0,55y = 2,25 \).
Ergebnis: ca. 1,42 L der 20%-igen und 3,58 L der 55%-igen Lösung.
Aufgabe 12
Reise Paris-Prag (1000 km in 10 h). Teil 80 km/h, Rest 120 km/h. Berechnen Sie die Distanzen.
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System: \( x+y=1000 \) und \( x/80 + y/120 = 10 \).
Ergebnis: 400 km bei 80 km/h und 600 km bei 120 km/h.
Aufgabe 13
Dreieck ABC mit A(2,3), B(-3,4). C liegt auf x = -1. Bestimmen Sie C für ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse AC.
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Anwendung Satz des Pythagoras für den rechten Winkel bei B. Berechnung ergibt \( b = 14 \). Punkt C: (-1, 14).
Aufgabe 14
Haushaltsbudget: 5% = 200. Housing/Food = 70%. Housing ist 500 mehr als Food. Berechnen Sie die Beträge.
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Gesamtbudget = 4000. Summe Housing+Food = 2800. Housing = 1650, Food = 1150.
Aufgabe 15
Fläche eines Drachens CD = 10 cm.
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Flächenberechnung ergibt ca. 157,23 cm².
Aufgabe 16
Beweisen Sie, dass die Geraden m und r senkrecht stehen.
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Winkelsumme im Dreieck und Nutzung der Parallelität führt zu einem Gesamtwinkel von 90°.
Aufgabe 17
Berechnen Sie die vertikale Höhe einer Pyramide (V=1500, Diagonale=10).
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Volumenformel führt zu 90 cm Höhe.