Matheaufgaben mit Lösungen für die 10. Klasse

a) Die maximale Höhe wird am Scheitelpunkt der Parabel erreicht: \[ t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1{,}5\ \text{Sekunden} \]

b) Setze \( t = 1{,}5 \) in die Gleichung ein, um die maximale Höhe zu erhalten: \[ h(1{,}5) = -5(1{,}5)^2 + 15(1{,}5) + 20 = -11{,}25 + 22{,}5 + 20 = 31{,}25\ \text{Meter} \]

c) Setze \( h(t) = 0 \): \[ -5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0 \] Faktorisiere: \[ (t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{oder}\ t = -1 \] Zeit kann nicht negativ sein, also trifft der Ball \( 4 \) Sekunden nach dem Abwurf auf dem Boden auf.

a) Sei:

\( d \): Anzahl der Dimes und \( q \): Anzahl der Quarters

Gesamtanzahl der Münzen ist \(30\) \[ d + q = 30 \quad \text{(1)} \] Ein Dime ist \( 10 \) Cent wert und ein Quarter ist \( 25 \) Cent wert, also \[ 0{,}10d + 0{,}25q = 5{,}10 \quad \text{(2)} \]

b) Aus Gleichung (1): \( d = 30 - q \)

Setze in Gleichung (2) ein: \[ 0{,}10(30 - q) + 0{,}25q = 5{,}10 \] Ausmultiplizieren und vereinfachen \[ 3 - 0{,}10q + 0{,}25q = 5{,}10 \] \[ 0{,}15q = 2{,}10 \] \[ q = 14 \] Dann \( d = 16 \)

Du hast \( 16 \) Dimes und \( 14 \) Quarters.

a) Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis, daher verwenden wir die Abstandsformel, um den Radius \( r \) mit dem Mittelpunkt \( (3,-2) \) und dem Punkt \( (6,2) \) zu finden: \[ r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

b) Die Kreisgleichung lautet: \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

Faktorisiere alle Ausdrücke \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\] \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \] Setze nun in den gegebenen Ausdruck ein: \[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} \] Kürze die gemeinsamen Faktoren \( x - 3 \) und \( x + 3 \), um zu erhalten: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2} \] Wenn wir gemeinsame Faktoren kürzen, wie oben geschehen, dividieren wir durch gemeinsame Faktoren. Wir können nicht durch Null dividieren, daher müssen wir die Bedingungen angeben, dass die gekürzten gemeinsamen Faktoren nicht Null sein dürfen: \[ x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \] \[ x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3 \] Der gegebene Ausdruck vereinfacht sich zu: \[ \frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{wobei } x \ne 3,\ -3 \]

Quadriere beide Seiten: \[ (\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2 \Rightarrow 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 \] Umstellen: \[ 0 = x^2 - 4x - 2 \] Mit der quadratischen Lösungsformel: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6} \] Überprüfung auf Scheinlösungen:

Versuche \( x = 2 + \sqrt{6} \approx 4{,}45 \):

Linke Seite (LS) = \( \sqrt{2(4{,}45) + 3} = \sqrt{11{,}9} \approx 3{,}45 \)

Rechte Seite (RS) = \( 4{,}45 - 1 = 3{,}45 \) ?

Versuche \( x = 2 - \sqrt{6} \approx -0{,}45 \):

Linke Seite (LS) = \( \sqrt{2(-0{,}45) + 3} = \sqrt{-0{,}9 + 3} = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45 \)

Rechte Seite (RS) = \( -0{,}45 - 1 = -1{,}45 \)

Die Lösung \( x = 2 + \sqrt{6} \) erfüllt beide Seiten der gegebenen Gleichung, aber \( x = 2 - \sqrt{6} \) tut dies nicht und ist daher eine Scheinlösung.

Die Lösung der gegebenen Gleichung ist: \[ x = 2 + \sqrt{6} \]

Finde die Steigung von \( AB \) und \( CD \): \[ m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1 \] Finde die Steigung von \( BC \) und \( AD \): \[ m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0{,}5 \] \[ m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0{,}5 \] Da beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind, ist ABCD ein Parallelogramm.

Stelle zunächst 625 als Potenz von 5 dar: \[ 625 = 5^4 \] Wende die Exponentenregel an, um \[ \dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1} \] zu schreiben. Forme die Gleichung um \[ 5^{2x - 1} = 5^4 \] was zur algebraischen Gleichung führt \[ 2x - 1 = 4 \] Löse nach \( x \) auf \[ x = \frac{5}{2} \]

Verwende den Kosinussatz: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \] \[ c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ) \] \[ c^2 = 49 + 100 - 140(-0{,}5) \] \[ c^2 = 149 + 70 = 219 \] \[ c = \sqrt{219} \approx 14{,}8 \ \text{cm} \] Also: \[ c \approx 14{,}8 \ \text{cm} \]

Setze \( x = 4 \), \( f(x) = 15 \) in die Gleichung ein: \[ 15 = a(4 - 2)^2 + 3 \] Löse nach \( a \) auf \[ 15 = a(2)^2 + 3 \] \[ a = 3 \] Die Funktion \( f(x) \) ist eine quadratische Funktion gegeben durch: \[ f(x) = 3(x - 2)^2 + 3 \] Aus der Form \( a(x - h)^2 + k \) ergibt sich der Scheitelpunkt als \[ (h, k) = (2, 3) \]

a) Sei \( h \) die Höhe des Turms. Verwende die Tangensformel im rechtwinkligen Dreieck: \[ \tan(32^\circ) = \frac{\text{h}}{50} \] Löse nach \( h \) auf: \[ h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0{,}6249 = 31{,}2\ \text{m} \]

b) Höhe der Drohne: \[ 31{,}2 + 30 = 61{,}2 \] Sei \( \theta \) der Höhenwinkel zur Drohne: \[ \tan(\theta) = \frac{61{,}2}{50} \] Daher \[ \theta = \tan^{-1}(1{,}224) \approx 50{,}2^\circ \]

Sei:

\( S \) die Geschwindigkeit des Bootes in stehendem Wasser (in km/h),

\( r \) die Geschwindigkeit der Flussströmung (in km/h),

\( d \) die Entfernung zwischen den Punkten A und B (in km).

Aus der Angabe: Flussabwärts: \[ d = 3(S + r) \] Flussaufwärts: \[ d = 5(S - r) \] Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für \( d \): \[ 3(S + r) = 5(S - r) \] Beide Seiten ausmultiplizieren: \[ 3S + 3r = 5S - 5r \] Bringe die Terme mit \( r \) auf eine Seite und die Terme mit \( S \) auf die andere Seite: \[ 8r = 2S \] Löse nach \( r \) auf \[ r = \frac{S}{4} \]

Setze nun \( r = \frac{S}{4} \) wieder in die Gleichung für flussabwärts ein: \[ d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4} \] In stehendem Wasser (keine Strömung) ist die Geschwindigkeit einfach \( S \). Zeit für die Fahrt von A nach B in stehendem Wasser: \[ \text{Zeit} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3{,}75 \text{ Stunden} \] Die Zeit, die das Boot für die Fahrt von A nach B in stehendem Wasser benötigen würde, beträgt also: \[ 3 \text{ Stunden und } 45 \text{ Minuten} \]

Multipliziere die Funktion aus: \[ f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120 \] Dies ist eine quadratische Funktion der Form: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{mit } a = -3, \, b = 42 \] Die Funktion erreicht ihr Maximum am Scheitelpunkt, dessen x-Koordinate gegeben ist durch: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7 \] Um den Maximalwert zu finden, setze \( x = 7 \) wieder in die Funktion ein: \[ f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27 \] Die Funktion hat ein Maximum bei \( x = 7 \) und der Maximalwert von \( f(x) \) ist \( f(7) = 27 \).

Sei \( n \) die Anzahl der Schüler, die weniger als 60 Punkte erzielten, und \( N \) die Anzahl der Schüler, die 60 oder mehr Punkte erzielten.

Der Durchschnitt für Schüler mit weniger als 60 Punkten ist: \[ \frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50 n \] Der Durchschnitt für Schüler mit 60 oder mehr Punkten ist: \[ \frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75 N \] Der Gesamtklassendurchschnitt ist 70: \[ \frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70 \] Einsetzen: \[ \frac{50n + 75N}{20} = 70 \] Multipliziere alle Terme mit \( 20 \) und vereinfache: \[ 50n + 75N = 1400 \quad (1) \] Wir haben auch: \[ n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n \] Setze \( N \) in Gleichung (1) ein: \[ 50n + 75(20 - n) = 1400 \] Ausmultiplizieren und vereinfachen: \[ -25n + 1500 = 1400 \] Löse nach \( n \) auf: \[ n = 4 \] \( n = 4 \) Schüler erzielten weniger als 60 Punkte.

Sei \( h \) die Höhe des Trapezes. \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2} \cdot h (\text{Grundseite}_1 \; + \; \text{Grundseite}_2) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270 \] Löse nach \( h \) auf: \[ h = 20 \] Wende den Satz des Pythagoras auf das linke rechtwinklige Dreieck an (Hypotenuse \( L \) ): \[ 20^2 + 3^2 = L^2 \quad \Rightarrow \quad L = \sqrt{409} \] Wende den Satz des Pythagoras auf das rechte rechtwinklige Dreieck an (Hypotenuse \( R \) ): \[ 20^2 + 4^2 = R^2 \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{416} \] Der Umfang des Trapezes ist: \[ \text{Umfang} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \; \text{Einheiten} \]

Sei die Länge \( L \) Meter und die Breite \( W \) Meter, mit \( L \gt W \). Verwende die Fläche für die Gleichung: \[ L \times W = 300 \] Verwende den Umfang für die Gleichung: \[ 2L + 2W = 70 \] Dividiere alle Terme der Gleichung \( \; 2L + 2W = 70 \; \) durch 2: \[ L + W = 35 \] Löse nach \( L \) auf: \[ L = 35 - W \] Setze in die Flächengleichung ein: \[ (35 - W) \cdot W = 300 \] Ausmultiplizieren: \[ 35W - W^2 = 300 \] In die normale quadratische Form bringen: \[ W^2 - 35W + 300 = 0 \] Löse mit der quadratischen Lösungsformel: \[ W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)} \] \[ = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ W = \frac{35 \pm 5}{2} \Rightarrow W = 20 \text{ oder } W = 15 \] Für \( W = 15 \), \( L = 35 - 15 = 20 \).

Für \( W = 20 \), \( L = 35 - 20 = 15 \).

Da \( L \gt W \), hat das Rechteck die Maße \( L = 20 \) und \( W = 15 \).

Der Motor hat eine Drehzahl von \( 3000 \) Umdrehungen pro Minute.

1 Umdrehung entspricht \( 360^\circ \)

1 Minute hat 60 Sekunden

Verwende Abkürzungen: min für Minuten und U für Umdrehungen, um zu schreiben: \[ \dfrac{3000 \text{U}}{1 \text{min} } = \frac{3000 \, \text{U}}{1 \, \text{min}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{U}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} \] Kürze die Einheiten U und min \[ = \frac{3000 \times 360}{60} \\ = \frac{1.080.000}{60} \\ = 18.000^\circ \, \text{pro Sekunde} \] Der Motor dreht sich \( 18.000^\circ \) in einer Sekunde.

Sei \( x \) der Verkaufspreis des Hauses. \[ 6\% \text{ von } x = 8.880 \] \[ 0{,}06x = 8.880 \] Löse nach \( x \) auf \[ x = \frac{8.880}{0{,}06} \] \[ x = 148.000 \] Der Verkaufspreis des Hauses betrug \( \$148.000 \).

Gegeben:

Drehzahl: \( 400 \, \text{U/min} \)

Geschwindigkeit: \( 72 \, \text{km/h} = 72.000 \, \text{m/h} \)

Zuerst rechne Umdrehungen pro Minute in Umdrehungen pro Stunde um: \[ 400 \, \dfrac{\text{U}}{\text{min}} \times 60 \, \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 24{.}000 \, \dfrac{\text{U}}{\text{h}} \] Sei \( C \) der Umfang des Reifens in Metern. Die in einer Stunde zurückgelegte Gesamtstrecke ist auch gleich der Anzahl der Umdrehungen pro Stunde multipliziert mit dem Umfang: \[ 24.000 \cdot C = 72.000 \] Löse nach \( C \) auf: \[ C = \frac{72.000}{24.000} = 3 \, \text{Meter} \]

Sei: \( x \) der Preis für ein Hemd, \( y \) der Preis für eine Hose und \( z \) der Preis für einen Hut Gegeben ist: \[ \begin{aligned} \text{(1)} &\quad 4x + 4y + 2z = 560 \\ \text{(2)} &\quad 9x + 9y + 6z = 1290 \end{aligned} \] Dividiere Gleichung (2) durch 3: \[ \text{(3)} \quad 3x + 3y + 2z = 430 \] Subtrahiere nun Gleichung (1) von Gleichung (3): \[ (3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560 \] \[ - x - y = -130 \quad \Rightarrow \quad x + y = 130 \quad \text{(4)} \] Setze Gleichung (4) in Gleichung (3) ein: \[ 3(x + y) + 2z = 430 \] \[ 3(130) + 2z = 430 \] \[ 390 + 2z = 430 \] \[ 2z = 40 \quad \Rightarrow \quad z = 20 \] Setze nun zurück ein, um die Gesamtkosten für 1 Hemd, 1 Hose und 1 Hut zu finden: \[ x + y + z = 130 + 20 = 150 \] Die Gesamtkosten für ein Hemd, eine Hose und einen Hut betragen \( \$150 \).

Sei \( x \) die Gesamtzahl der Spielzeuge.

Das erste Kind hat \( \frac{x}{10} \) Spielzeuge.

Das zweite Kind hat \( \frac{x}{10} + 12 \) Spielzeuge.

Das dritte Kind hat \( \frac{x}{10} + 1 \) Spielzeuge.

Das vierte Kind hat \( 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) \) Spielzeuge.

Wir stellen die Gleichung für die Gesamtzahl der Spielzeuge auf: \[ \frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x \] Ausmultiplizieren: \[ \frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x \] Fasse gleiche Terme zusammen: \[ \frac{6x}{10} + 15 = x \] Multipliziere mit 10, um den Nenner zu entfernen: \[ 6x + 150 = 10x \] Subtrahiere \( 6x \) von beiden Seiten: \[ 150 = 4x \] Löse nach \( x \) auf: \[ x = \frac{150}{4} = 37{,}5 \] Da es sich um eine ganze Anzahl von Spielzeugen handeln muss, überprüfe die Gleichung nochmals. Der Fehler liegt in der Kombination der Terme: \( \frac{x}{10} + \frac{x}{10} + \frac{x}{10} + \frac{2x}{10} = \frac{5x}{10} \). Korrigiere: \[ \frac{x}{10} + \frac{x}{10} + \frac{x}{10} + \frac{2x}{10} = \frac{5x}{10} \] Die Konstanten: \( 12 + 1 + 2 = 15 \). Also: \[ \frac{5x}{10} + 15 = x \implies 0{,}5x + 15 = x \implies 15 = 0{,}5x \implies x = 30 \] Die Gesamtzahl der Spielzeuge beträgt also \( 30 \).

Zuerst schreiben wir jeden Term des Produkts als Bruch: \[ \left( 1 - \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \left( 1 - \frac{1}{12} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right) \] Das ergibt: \[ \left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right) \] Nun erkennt man das Muster des Kürzens. Die meisten Terme heben sich auf, übrig bleibt: \[ \frac{9}{100} \] Das Endergebnis ist also: \[ \frac{9}{100} \]