Wurzelausdrücke
Fragen mit Lösungen für Klasse 10

Fragen der 10. Klasse zur Verwendung einiger wichtiger Formeln zur Vereinfachung von Wurzelausdrücken werden mit Lösungen präsentiert.

Wichtige Formeln


A) Wenn \( n \) und \( m \) positive ganze Zahlen sind und \( \sqrt[n]{y} \) eine reelle Zahl ist, dann gilt \[ \Large{\color{blue}{ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m}} } \] Beispiele
1) \( \sqrt 5 \) ist eine reelle Zahl und daher \[ \Large{(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5} \]
2) \( \sqrt[3]{-7} \) ist eine reelle Zahl und daher \[ \Large{(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49} \] B) Wenn \(n\) eine GERADE positive ganze Zahl ist, dann gilt \[ \Large{\color{blue}{ \sqrt[n]{y^n} = |y|} } \] Beispiele
  1. \( \quad \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4 \)
  2. \( \sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3 \)
  3. \( \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \)
  4. \( \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
  5. \( \sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2 \)
C) Wenn \(n \) eine UNGERADE positive ganze Zahl ist, dann gilt \[ \Large{\color{blue}{\sqrt[n]{y^n} = y}} \]

Beispiele

  1. \( \quad \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1\)
  2. \( \quad \sqrt[5]{(-2)^5} = -2\)
  3. \( \quad \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3\)
  4. \( \quad\sqrt[5]{x^5} = x\)
  5. \( \quad\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2\)

Fragen

Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke nach Möglichkeit ohne Wurzeln um (vereinfachen Sie).
  1. \( \quad \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = \)
  2. \( \quad \left( \sqrt{x} \right)^2 = \)
  3. \( \quad -\left( \sqrt{x} \right)^4 = \)
  4. \( \quad \sqrt{-x^2 - 1} = \)
  5. \( \quad \sqrt[8]{x^8} = \)
  6. \( \quad \sqrt{x^6} = ? \)
  7. \( \quad \sqrt{x \cdot |x|} = \)
  8. \( \quad \sqrt[10]{x^{10}} = \)
  9. \( \quad \sqrt[3]{(x - 2)^3} = \)
  10. \( \quad \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \)
  11. \( \quad \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \)
  12. \( \quad \sqrt{(-x + 3)^2} = \)
  13. \( \quad \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \)

Lösungen zu den obigen Aufgaben

  1. Der Index der Wurzel \( 3 \) ist ungerade und gleich der Potenz des Radikanden. \[ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x \]
  2. Da \( \sqrt{x} \) eine reelle Zahl ist, ist \( x \) positiv und daher \( |x| = x \). \[ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x \]
  3. \[ - \left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 \]
  4. Da \( -x^2 - 1 \) immer negativ ist, ist \[ \sqrt{-x^2 - 1} \] keine reelle Zahl.
  5. Der Index \( 8 \) ist gerade und gleich der Potenz des Radikanden \[ \sqrt[8]{x^8} = |x| \]
  6. \[ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| \]
  7. \[ \sqrt{x \cdot |x|} = ? \] Wenn \( x \lt 0 \), dann ist \( |x| = -x \) und \( \sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2} \), was keine reelle Zahl ist.
    Wenn \( x \geq 0 \), dann ist \( |x| = x \) und \( \sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x \)
  8. Der Index \( 10 \) der Wurzel ist gerade und gleich der Potenz des Radikanden. \[ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| \]
  9. Der Index \( 3 \) der Wurzel ist ungerade und gleich der Potenz des Radikanden. \[ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 \]
  10. \[ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} \]
  11. \[ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} \]
  12. Gerader Index und Potenz des Radikanden. \[ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 |. \]
  13. Gerader Index und Potenz des Radikanden. \[ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2|. \]

Links und Referenzen