Nachfolgend finden Sie Aufgaben für die 10. Klasse, wie man wichtige Formeln anwendet, um algebraische Radikalausdrücke zu vereinfachen. Gehen Sie die Formeln und Beispiele durch, versuchen Sie, die Übungsaufgaben zu lösen, und klicken Sie auf die Pfeile, um die Schritt-für-Schritt-Lösungen anzuzeigen.
Wenn $n$ und $m$ positive ganze Zahlen sind und $\sqrt[n]{y}$ eine reelle Zahl ist, dann gilt:
Beispiele:
Wenn $n$ eine GERADE positive ganze Zahl ist, dann gilt:
Beispiele:
Wenn $n$ eine UNGERADE positive ganze Zahl ist, dann gilt:
Beispiele:
Schreiben Sie, sofern möglich, die folgenden Ausdrücke ohne Radikale um (vereinfachen):
Vereinfachen: $\left( \sqrt[3]{x} \right)^3$
Der Wurzelexponent $3$ ist ungerade und gleich der Potenz des Radikanden.
$$ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x $$
Vereinfachen: $\left( \sqrt{x} \right)^2$
Da $\sqrt{x}$ eine reelle Zahl ist, muss $x$ positiv oder null sein, daher ist $|x| = x$.
$$ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x $$
Vereinfachen: $-\left( \sqrt{x} \right)^4$
$$ -\left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 $$
Vereinfachen: $\sqrt{-x^2 - 1}$
Da $-x^2 - 1$ immer eine negative Zahl ist, ist $\sqrt{-x^2 - 1}$ keine reelle Zahl.
Vereinfachen: $\sqrt[8]{x^8}$
Der Wurzelexponent $8$ ist gerade und gleich der Potenz des Radikanden.
$$ \sqrt[8]{x^8} = |x| $$
Vereinfachen: $\sqrt{x^6}$
$$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $$
Vereinfachen: $\sqrt{x \cdot |x|}$
Wenn $x < 0$, dann ist $|x| = -x$ und $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2}$, was keine reelle Zahl ist.
Wenn $x \geq 0$, dann ist $|x| = x$ und $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x$.
Vereinfachen: $\sqrt[10]{x^{10}}$
Der Wurzelexponent $10$ ist gerade und gleich der Potenz des Radikanden.
$$ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| $$
Vereinfachen: $\sqrt[3]{(x - 2)^3}$
Der Wurzelexponent $3$ ist ungerade und gleich der Potenz des Radikanden.
$$ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 $$
Vereinfachen: $\sqrt{\frac{x^2}{9}}$
$$ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} $$
Vereinfachen: $\sqrt[5]{\frac{x^5}{32}}$
$$ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} $$
Vereinfachen: $\sqrt{(-x + 3)^2}$
Das Radikal hat einen geraden Wurzelexponenten und eine entsprechende Potenz des Radikanden.
$$ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 | $$
Vereinfachen: $\sqrt{x^2 + 4x + 4}$
Das Radikal hat einen geraden Wurzelexponenten und eine entsprechende Potenz des Radikanden.
$$ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2| $$