Nachfolgend finden Sie Aufgaben für die 10. Klasse zum Rationalisieren von Radikalausdrücken. Gehen Sie die Formeln und Beispiele durch, versuchen Sie, die Übungsaufgaben zu lösen, und klicken Sie auf die Pfeile, um die Schritt-für-Schritt-Lösungen anzuzeigen.
Radikalausdrücke im Nenner zu rationalisieren bedeutet, den Nenner ohne Radikale darzustellen.
Die folgenden Identitäten können verwendet werden, um Nenner rationaler Ausdrücke zu rationalisieren:
Gehen Sie die folgenden Beispiele durch, um zu sehen, wie die Rationalisierung angewendet wird:
Rationalisieren: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Wegen des $\sqrt{2}$ im Nenner multiplizieren wir Zähler und Nenner mit $\sqrt{2}$ und vereinfachen:
$$ \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
Rationalisieren: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$
Wegen des $\sqrt[3]{x}$ im Nenner multiplizieren wir Zähler und Nenner mit $\left( \sqrt[3]{x} \right)^2$ und vereinfachen:
$$ \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $$
Rationalisieren: $\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
Wegen des Ausdrucks $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ im Nenner multiplizieren wir Zähler und Nenner mit dem Konjugierten, das $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ ist, um Folgendes zu erhalten:
$$ \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $$
Rationalisieren: $\dfrac{5x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
Wegen des Ausdrucks $\sqrt[3]{x^2}$ im Nenner multiplizieren wir Zähler und Nenner mit $\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2$:
$$ \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2} $$
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^3} $$
Vereinfachen und Terme kürzen:
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{x^2} = 5\sqrt[3]{x^4} = 5x\sqrt[3]{x} $$
Rationalisieren: $\dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
Wegen des Ausdrucks $y + \sqrt{x^2 + y^2}$ im Nenner multiplizieren wir Zähler und Nenner mit dem Konjugierten $y - \sqrt{x^2 + y^2}$:
$$ \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{(y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} $$
$$ = -y + \sqrt{x^2 + y^2} $$
Rationalisieren Sie die Nenner der folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie, wenn möglich:
Vereinfachen: $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit $\sqrt{5}$:
$$ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} $$
Vereinfachen: $2\sqrt{2}\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$
Konzentrieren Sie sich auf den Bruch. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten $\sqrt{2} - \sqrt{3}$:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \right) $$
Vereinfachen Sie den Bruch:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2-3} $$
Verteilen Sie das negative Vorzeichen:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} $$
$$ = 5 $$
Vereinfachen: $\dfrac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}}$
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit $\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2$:
$$ \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} \cdot \frac{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2} $$
Vereinfachen:
$$ = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^3} = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{x^4} = 7 \sqrt[3]{x^8} = 7x^2 \sqrt[3]{x^2} $$
Vereinfachen: $\dfrac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten, $y - \sqrt{x^2 + y^2}$:
$$ \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
Vereinfachen Sie den Nenner:
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} = y - \sqrt{x^2 + y^2} $$