Nenner rational machen - Fragen mit Lösungen
Fragen der 10. Klasse zum Rationalisieren von Wurzelausdrücken mit Lösungen werden präsentiert.
Um Wurzelausdrücke im Nenner rational zu machen, bedeutet, den Nenner ohne Wurzeln darzustellen.
Beispiele mit Lösungen
Die folgenden Identitäten können verwendet werden, um Nenner von rationalen Ausdrücken rational zu machen.
- \(\quad \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x\)
- \(\quad \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x})^2 = (\sqrt[3]{x})^3 = x\)
- \(\quad (\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y\)
- \(\quad (x - \sqrt{y}) (x + \sqrt{y}) = x^2 - (\sqrt{y})^2 = x^2 - y\)
Beispiele
Rationalisieren Sie die Nenner der folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie, wenn möglich.
\[
\dfrac{1}{\sqrt{2} }
\]
Lösung
Wegen \( \sqrt 2 \) im Nenner, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \sqrt 2 \) und vereinfachen Sie
\[
\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}
\]
Lösung
Wegen \( \sqrt[3]{x} \) im Nenner, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 \) und vereinfachen Sie.
\[
\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x}
\]
\[
\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
\]
Lösung
Wegen des Ausdrucks \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) im Nenner, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugat von \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \), das ist \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \), um zu erhalten:
\[
\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}
\]
\[
= \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}
\]
\[
= \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}}
\]
\[
= \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})
\]
\[
\dfrac{5x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}
\]
Lösung
Wegen des Ausdrucks \( \sqrt[3]{x^2} \) im Nenner, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2 \) um zu erhalten
\[
\dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}
\]
\[
= \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^3}
\]
Vereinfachen und kürzen:
\[
= \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{x^2} = 5\sqrt[3]{x^4} = 5x\sqrt[3]{x}
\]
\[
5) \quad \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}
\]
Lösung
Wegen des Ausdrucks \( y + \sqrt{x^2 + y^2} \) im Nenner, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit seinem Konjugat \( y - \sqrt{x^2 + y^2} \) um zu erhalten
\[
\dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}}
\]
\[
= \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{(y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2}
\]
\[
= \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)}
\]
\[
= \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2}
\]
\[
= -y + \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Fragen
Rationalisieren Sie die Nenner der folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie, wenn möglich.
- \( \quad
\dfrac{10}{\sqrt{5}} \)
- \( \quad 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}
\)
- \( \quad \dfrac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}}
\)
- \( \quad \dfrac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}
\)
Lösungen zu den obigen Problemen
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \sqrt 5 \)
\[
\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}
\]
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \)
\[
2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}
\]
und vereinfachen Sie
\[
= 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}
\]
\[
= 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2-3}
\]
\[
= 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}{-1}
\]
\[
= 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}
\]
\[
= 5
\]
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2 \)
\[
\frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} \cdot \frac{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}
\]
und vereinfachen Sie
\[
= \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^3} = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{x^4} = 7 \sqrt[3]{x^8} = 7x^2 \sqrt[3]{x^2}
\]
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( y - \sqrt{x^2 + y^2} \)
\[
\frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}}
\]
und vereinfachen Sie
\[
= \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)}
\]
\[
= \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} = y - \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Weitere Referenzen und Links